写在前面

一、牛顿法

1.看图理解牛顿法

2.公式推导-三角函数

3.公式推导-二阶泰勒展开

二、BFGS公式推导

三、L-BFGS

四、算法迭代过程

五、代码实现

1.torch.optim.LBFGS说明

2.使用LBFGS优化模型

优化器系列文章列表

Pytorch优化器全总结（一）SGD、ASGD、Rprop、Adagrad

Pytorch优化器全总结（二）Adadelta、RMSprop、Adam、Adamax、AdamW、NAdam、SparseAdam

Pytorch优化器全总结（三）牛顿法、BFGS、L-BFGS 含代码

写在前面

这篇文章是优化器系列的第三篇，主要介绍牛顿法、BFGS和L-BFGS，其中BFGS是拟牛顿法的一种，而L-BFGS是对BFGS的优化，那么事情还要从牛顿法开始说起。

一、牛顿法

函数最优化算法方法不唯一，其中耳熟能详的包括梯度下降法，梯度下降法是一种基于迭代的一阶优化方法，优点是计算简单；牛顿法也是一种很重要的优化方法，是基于迭代的二阶优化方法，优点是迭代次数少，收敛速度很快。下面我们简要介绍一下牛顿法。

1.看图理解牛顿法

最优化问题就是寻找能使函数最小化的x，所以目标函数应当是一个凸函数（起码是局部凸函数），假如一个函数如下图：

图1

他的一阶导数可能长下面这个样子：

图2

很显然函数在 $x_n$ 处取得最小值，同时这个点的导数等于0，如果使用梯度下降，经过多次迭代，x的取值会慢慢接近 $x_n$ ，我们都能想象这个过程。

如果使用牛顿法，x也会逼近 $x_n$ ，不过速度会快很多，示例图如下：

图3

这个过程可以这样描述：

a.在X轴上随机一点 $x_{1}$ ,经过 $x_{1}$ 做X轴的垂线,得到垂线与函数图像的交点 $f(x_{1})$ .

b.通过 $f(x_{1})$ 做函数的切线,得到切线与X轴的交点 $x_{2}$ .

c.迭代a/b两步，当前后两次求的x相同或者两个值的差小于一个阈值的时候，我们就认为找到了 $x_n$ 。

三个步骤的难点在于b，如何快速的找到切线与X轴的交点，下面有两种计算方式，思想不同但结果是一样的。

2.公式推导-三角函数

图4

如图4，蓝色的线是函数的 $f(x)$ 的导数 $f^{'}(x)$ ，则曲线在 $x_1$ 处的导数为 $f^{''}(x_1)$ ，我们要求 $x_2$ ，根据三角函数有：

$f^{''}(x_1)=\frac{f^{'}(x_1)}{x_1-x_2}$ （1）

得出：

$x_2=x_1-\frac{f^{'}(x_1)}{f^{''}(x_1)}$ （2）

利用 $x_2$ 开始进行下一轮的迭代。迭代公式可以简化如下：

$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f^{'}(x_{n})}{f^{''}(x_{n})}$ （3）

3.公式推导-二阶泰勒展开

任意一点在 $x_k$ 附近的二阶泰勒展开公式为：

$f(x)=f(x_n)+f^{'}(x_n)(x-x_n)+\frac{1}{2}f^{''}(x_n)(x-x_n)^2$ （4）

对 $f(x)$ 求导：

$f^{'}(x)=f^{'}(x_n)+f^{''}(x_n)(x-x_n)$ （5）

令 $f^{'}(x)=0$ :

$x=x_{n}-\frac{f^{'}(x_{n})}{f^{''}(x_{n})}$ （6）

写成迭代形式：

$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f^{'}(x_{n})}{f^{''}(x_{n})}$ （7）

可以看到使用三角函数和二阶泰勒展开最终得到的结果是一样的。虽然牛顿法收敛速度很快，但是当x的维度特别多的时候，我们想求得 $f^{''}(x)$ 是非常困难的，而牛顿法又是一个迭代算法,所以这个困难我们还要面临无限多次，导致了直接使用牛顿法最为优化算法很难实际落地。为了解决这个问题出现了拟牛顿法，下面介绍一种拟牛顿法BFGS，主要就是想办法一种方法代替二阶导数。

二、BFGS公式推导

函数 $f\left ( x \right )$ 在 $x=x_{k+1}$ 处的二阶泰勒展开式为：

$f(x)=f(x_{n+1})+f^{'}(x_{n+1})(x-x_{n+1})+\frac{1}{2}f^{''}(x_{n+1})(x-x_{n+1})^2$ （8）

当x为向量的时候，上式写成：

$f(x)=f(x_{n+1})+\bigtriangledown f(x_{n+1})(x-x_{n+1})+\frac{1}{2}\bigtriangledown^2 f(x_{n+1})(x-x_{n+1})^2$

（9）

令 $G_{n+1}=\bigtriangledown ^2f(x_{n+1})$ ，同时对 $f(x)$ 求导：

$\bigtriangledown f(x)=\bigtriangledown f(x_{n+1})+G_{n+1}(x-x_{n+1})$ （10）

接下来我们要想办法去掉 $G_{n+1}$ ，我们使用 $B_{n+1}$ 代替 $G_{n+1}$ ， $B_{n+1}$ 是在迭代中一点点计算出来的而不使用二阶导数。

上式变为:

$\bigtriangledown f(x)=\bigtriangledown f(x_{n+1})+B_{n+1}(x-x_{n+1})$ （11）

$B_{n+1}(x_{n+1}-x)=\bigtriangledown f(x_{n+1})-\bigtriangledown f(x)$ （12）

我们认为每次迭代 $B_k$ 与上次变化 $E_k$ ，形式如下：

$B_{n+1}=B_{n}+E_{n}$ （13）

令：

$y_n=\bigtriangledown f(x_{n+1})-\bigtriangledown f(x_n)$ ， $s_n=x_{n+1}-x_n$ （14）

将式（13）（14）带入式子（12）：

$(B_n+E_n)s_n = y_n$ （15）

令：

$E_n=\alpha u_nu_{n}^{T}+\beta v_kv_{k}^{T}$ （16）

其中 $u_n,v_n$ 均为 $n\times 1$ 的向量，带入（15）

$(B_n+\alpha u_nu_{n}^{T}+\beta v_nv_{n}^{T})s_n=y_n$ （17）

$\alpha (u_{n}^{T}s_n)u_n+\beta (v_{n}^{T}s_n)v_n=y_n-B_ns_n$ （18）

已知： $u_{n}^{T}s_n,v_{n}^{T}s_n$ 为实数， $y_n-B_ns_n$ 为向量。式（18）中，参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 解的可能性有很多，我们取特殊的情况，假设 $u_n=rB_ns_n,v_n=\theta y_n$ 。带入（16）得：

$E_n=\alpha r^2B_ns_ns_{n}^{T}B_n+\beta \theta^2 y_ny_{n}^{T}$ （19）

将 $u_n=rB_ns_n,v_n=\theta y_n$ 带入（18）得：

$\alpha [(rB_ns_n)^Ts_n](rB_ns_n)+\beta [(\theta y_n)^T](\theta y_n)=y_n-B_ns_n$ （20）

$[\alpha r^2(s_{n}^{T}B_ns_n)+1]+[\beta \theta ^2(y_{n}^{T}s_n)-1](y_n)=0$ （21）

令 $\alpha r^2(s_{n}^{T}B_ns_n)+1=0$ ，则：

$\alpha r^2=-\frac{1}{s_{n}^{T}B_ns_n}$ （22）

令 $\beta \theta ^2(y_{n}^{T}s_n)-1=0$ ，则

$\beta \theta ^2=\frac{1}{y_{n}^{T}s_n}$ （23）

将式（22）和（23）带入（19）：

$E_n=-\frac{B_ns_ns_{n}^{T}B_n}{s_{n}^TB_ns_n}+\frac{y_ny_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_k}$ （24）

将（24）带入（13）得到 $B_n$ 的迭代公式：

$B_{n+1}=B_n-\frac{B_ns_ns_{n}^{T}B_n}{s_{n}^TB_ns_n}+\frac{y_ny_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_k}$ （24）

当x为向量的时候，式（7）写成：

$x_{n+1}=x_n-B_{n}^{-1}\bigtriangledown f(x_n)$ （25）

加上学习率得到BFGS的迭代公式：

$x_{n+1}=x_n-\eta(B_{n}^{-1}\bigtriangledown f(x_n))$ （26）

我们发现，还需要求 $B_n$ 的逆，这里可以引入sherman-morrism公式，求解 $B_n$ 的逆：

$B_{n+1}^{-1}=(I-\frac{s_ny_n}{y_{n}^{T}s_n})^TB_{n}^{-1}(I-\frac{y_ns_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_n})+\frac{s_ns_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_n}$ （27）

我们用 $H$ 代替 $B^{-1}$ ，得到最终的BFGS迭代公式和 $H$ 的迭代公式：

$x_{n+1}=x_n-\eta(H_{n}\bigtriangledown f(x_n)$ （28）

$H_{n+1}=(I-\frac{s_ny_n}{y_{n}^{T}s_n})^TH_{n}(I-\frac{y_ns_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_n})+\frac{s_ns_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_n}$ （29）

其中 $s_n$ 是本轮x与上一轮x的差， $y_n$ 是本轮梯度与上一轮梯度的差。

三、L-BFGS

在BFGS算法中，仍然有缺陷，每次迭代计算需要前次迭代得到的 $H_n$ ， $H_n$ 的存储空间至少为N(N+1)/2（N为特征维数），对于高维的应用场景，需要的存储空间将是非常巨大的。为了解决这个问题，就有了L-BFGS算法。L-BFGS即Limited-memory BFGS。 L-BFGS的基本思想就是通过存储前m次迭代的少量数据来替代前一次的矩阵，从而大大减少数据的存储空间。

令 $\rho _n=\frac{1}{y_{n}^{T}s_n},V_k=I-\frac{y_ns_{n}^{T}}{y_{n}^{T}s_k}$ ，则式（29）可以表示为：

$H_{n+1}=V_{n}^{T}H_nV_n+\rho _ns_ns_{n}^{T}$ （30）

若在初始时，假定初始的矩阵 $H_0=I$ ，则我们可以得到：

$H_1=V_{0}^{T}H_0V_0+\rho _0s_0s_{0}^{T}$ （31）

$H_2=V_{1}^{T}H_1V_1+\rho _1s_1s_{1}^{T}$

$=V_{1}^{T}(V_{0}^{T}H_0V_0+\rho _0s_0s_{0}^{T})+\rho _1s_1s_{1}^{T}$

$=V_{1}^{T}V_{0}^{T}H_0V_1+V_{1}^{T}\rho _0s_0s_{0}^{T}V_1+\rho _1s_1s_{1}^{T}$ （32）

$H_{n+1}=(V_{n}^{T}V_{n-1}^{T}\cdots V_{1}^{T}V_{0}^{T})H_0(V_0V_1\cdots V_{n-1}V_n)$

$+(V_{n}^{T}V_{n-1}^{T}\cdots V_{1}^{T})\rho _1s_1s_{1}^{T}(V_1\cdots V_{n-1}V_n)$

$+ \cdots$

$+V_{n}^{T}\rho _{n-1}s_{n-1}s_{n-1}^{T}V_n$

$+\rho _ns_ns_{n}^{T}$

假设当前迭代为n，只保存最近的m次迭代信息，按照上面的方式迭代m次，可以得到如下的公式：

$H_{n+1}=(V_{n}^{T}V_{n-1}^{T}\cdots V_{n-m}^{T})H_0(V_{n-m}\cdots V_{n-1}V_n)$

$+(V_{n}^{T}V_{n-1}^{T}\cdots V_{n-m}^{T})\rho _1s_1s_{1}^{T}(V_{n-m}\cdots V_{n-1}V_n)$

$+ \cdots$

$+V_{n}^{T}\rho _{n-1}s_{n-1}s_{n-1}^{T}V_n$

$+\rho _ns_ns_{n}^{T}$

由于 $\rho ,V$ 这些变量都最终可以由s、y两个向量计算得到，因此，我们只需存储最后m次的s、y向量即可算出 $H_{n+1}$ ，加上对角阵 $H_0$ ，总共需要存储2*m+1个N维向量（实际应用中m一般取4到7之间的值，因此需要存储的数据远小于Hesse矩阵）。

四、算法迭代过程

1. 选初始点 $x_0$ ，最小梯度阈值 $\varepsilon > 0$ ，存储最近 m 次的选代数据；

2.初始化 $n=0,H_0=I,r=\bigtriangledown f(x_0)$ ；

3.如果 $||\bigtriangledown f(x_{n+1})||\leqslant \varepsilon$ ，则返回最优解 x，否则转入步骤4；

4.计算本次选代的可行方向 $p+n=-r_k$ ；

5.计算步长 $\alpha _k$ ，用下面的式子进行线搜索；

$f(x_n+\alpha _np_n)=minf(x_n-\alpha p_n)$

6.用下面的更新公式更新x；

$x_{n+1}=x_n+\alpha _np_n$

7.如果 n大于 m，保留最近 m 次的向量对，删除 $s_{n-m},y_{n-m}$ ；

8.计算并保存向量对

$s_n=x_{n+1}-x_n$

$y_n=\bigtriangledown f(x_{n+1})-\bigtriangledown f(x_{n})$

9.用 two-loop recursion算法求：

$r_n=B_n\bigtriangledown f(x_n)$

10.设置 $n=n+1$ ，转到步骤3

五、代码实现

1.torch.optim.LBFGS说明

该类实现 LBFGS优化方法。LBFGS是什么已经不用多说了。

Pytorch说明文档：LBFGS — PyTorch 1.13 documentation

'''
lr (float): 学习率 (default: 1)
max_iter (int): 每个优化步骤的最大迭代次数，就像图3那样迭代 (default: 20)
max_eval (int): 每次优化函数计算的最大数量，使用了线搜索算法时，每次迭代计数器可能增加不止1，最好使用线搜索算法时再设置这个参数。计数器同时受max_iter 和max_eval约束，先到哪个值直接跳出迭代。(default: max_iter * 1.25).
tolerance_grad (float): 一阶最优终止公差，就是指yn (default: 1e-5).
tolerance_change (float): 函数值/参数变化的终止容差,就是指sn (default: 1e-9).
history_size (int): 更新历史记录大小 (default: 100).
line_search_fn (str): 使用线搜索算法，只能是'strong_wolfe' 或者None (default: None).
'''
class torch.optim.LBFGS(params, lr=1.0, rho=0.9, eps=1e-06, weight_decay=0)

2.使用LBFGS优化模型

我们用一个简单的全连接网络并使用LBFGS优化，下面是代码和运行结果，可以看到，损失下降的速度还是很快的。

# coding=utf-8
#================================================================
#
#   File name   : optim_duibi.py
#   Author      : Faye
#   Created date: 2022/8/26 17:30
#   Description :
#
#================================================================

import torch
import torch.utils.data as Data
import torch.nn.functional as F
from torch.autograd import Variable
import matplotlib.pyplot as plt

# 超参数
LR = 0.01
BATCH_SIZE = 32
EPOCH = 12

# 生成假数据
# torch.unsqueeze() 的作用是将一维变二维，torch只能处理二维的数据
x = torch.unsqueeze(torch.linspace(-1, 1, 1000), dim=1)  # x data (tensor), shape(100, 1)
# 0.2 * torch.rand(x.size())增加噪点
y = x.pow(2) + 0.1 * torch.normal(torch.zeros(*x.size()))

# 定义数据库
dataset = Data.TensorDataset(x, y)

# 定义数据加载器
loader = Data.DataLoader(dataset=dataset, batch_size=BATCH_SIZE, shuffle=True, num_workers=0)


# 定义pytorch网络
class Net(torch.nn.Module):
    def __init__(self, n_features, n_hidden, n_output):
        super(Net, self).__init__()
        self.hidden = torch.nn.Linear(n_features, n_hidden)
        self.predict = torch.nn.Linear(n_hidden, n_output)

    def forward(self, x):
        x = F.relu(self.hidden(x))
        y = self.predict(x)
        return y

# 定义不同的优化器网络
net_LBFGS = Net(1, 10, 1)

# 选择不同的优化方法
opt_LBFGS = torch.optim.LBFGS(net_LBFGS.parameters(), lr=LR, max_iter=20)

nets = [net_LBFGS]
optimizers = [opt_LBFGS]

# 选择损失函数
loss_func = torch.nn.MSELoss()

# 不同方法的loss
loss_LBFGS = []

# 保存所有loss
losses = [loss_LBFGS]

# 执行训练
for epoch in range(EPOCH):
    for step, (batch_x, batch_y) in enumerate(loader):
        var_x = Variable(batch_x)
        var_y = Variable(batch_y)
        for net, optimizer, loss_history in zip(nets, optimizers, losses):
            if isinstance(optimizer, torch.optim.LBFGS):
                def closure():
                    y_pred = net(var_x)
                    loss = loss_func(y_pred, var_y)
                    optimizer.zero_grad()
                    loss.backward()
                    return loss
                loss = optimizer.step(closure)
            else:
                # 对x进行预测
                prediction = net(var_x)
                # 计算损失
                loss = loss_func(prediction, var_y)
                # 每次迭代清空上一次的梯度
                optimizer.zero_grad()
                # 反向传播
                loss.backward()
                # 更新梯度
                optimizer.step()
            # 保存loss记录
            loss_history.append(loss.data)

# 画图
labels = ['LBFGS']
for i, loss_history in enumerate(losses):
    plt.plot(loss_history, label=labels[i])
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Steps')
plt.ylabel('Loss')
plt.ylim((0, 0.2))
plt.show()