3.8 动态规划 背包问题

news2024/12/23 22:06:37

一.01背包

46. 携带研究材料（第六期模拟笔试） (kamacoder.com)

代码随想录 (programmercarl.com)

携带研究材料:

时间限制：5.000S  空间限制：128MB

题目描述:

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的空间，并且具有不同的价值。 

小明的行李空间为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料只能选择一次，并且只有选与不选两种选择，不能进行切割。

输入描述:

第一行包含两个正整数，第一个整数 M 代表研究材料的种类，第二个正整数 N，代表小明的行李空间。

第二行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的所占空间。 

第三行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的价值。

输出描述:

输出一个整数，代表小明能够携带的研究材料的最大价值。

输入示例:

6 1
2 2 3 1 5 2
2 3 1 5 4 3

 1.dp状态描述

dp[i][j]表示前i个物品中行李空间为j时能带的最大价值   

space[i]表示i物品所需空间

value[i]表示i物品的价值

2.递推公式

先遍历物品再遍历背包空间时
新来一个物品i时面对两种情况 带或不带，带的前提是当前空间>新物品空间I
if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
else dp[i][j]=dp[i-1][j]

3. 初始状态

是从一个一个物品开始遍历，初始状态有第一个物品即可（第一行）

    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i>=space[0]) dp[0][i]=value[0];
    }

4.遍历顺序

先遍历物品或背包都可以，但遍历物品更好理解

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int m = 0, n = 0;
    cin >> m >> n;
    vector<int> space,value;
    int tempM=m;
    while(tempM--)
    {
        int tempSpace;
        cin>>tempSpace;
        space.push_back(tempSpace);
    }
    tempM=m;
    while(tempM--)
    {
        int tempValue;
        cin>>tempValue;
        value.push_back(tempValue);
    }
    // for(auto e : space) cout<<e;
    // for(auto e : value) cout<<e;
    //每一个带可能带或不带，前面的选择会影响后面
    //dp[i][j]表示前i个物品中行李空间为j时能带的最大价值   
    //新来一个物品i时面对两种情况 带或不带
    //if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
    //else dp[i][j]=dp[i-1][j]
    vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n+1,0));
    // //初始状态第一行即可
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i>=space[0]) dp[0][i]=value[0];
    }
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
            else dp[i][j]=dp[i-1][j];
        }
    }
    cout<<dp[m-1][n];
    return 0;
}

 二.完全背包

52. 携带研究材料（第七期模拟笔试） (kamacoder.com)

代码随想录 (programmercarl.com)

52. 携带研究材料（第七期模拟笔试）

时间限制：1.000S  空间限制：128MB

题目描述:

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。

小明的行李箱所能承担的总重量为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。

输入描述:

第一行包含两个整数，N，V，分别表示研究材料的种类和行李空间 

接下来包含 N 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值

输出描述:

输出一个整数，表示最大价值。

输入示例:

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出示例:

10

 1.dp状态描述(与01背包相同)

dp[i][j]表示前i个物品中行李空间为j时能带的最大价值   

space[i]表示i物品所需空间

value[i]表示i物品的价值

2.递推公式

先遍历物品再遍历背包空间时
新来一个物品i时面对两种情况 带或不带，带的前提是当前空间>新物品空间I，带的话可以选择带n个，则带的结果是以dp[i][j-space[i]]+value[i]表示，因为此时只需要空间变小即可，依旧可以选择到第i个物品
if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
else dp[i][j]=dp[i-1][j]

3. 初始状态

是从一个一个物品开始遍历，初始状态有第一个物品即可（第一行），也有01背包略有不同

    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
       if(i>=space[0]) dp[0][i]=max(dp[0][i-space[0]]+value[0],value[0]);
    }

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int m = 0, n = 0;
    cin >> m >> n;
    vector<int> space,value;
    int tempM=m;
    while(tempM--)
    {
        int tempSpace,tempValue;
        cin>>tempSpace>>tempValue;
        space.push_back(tempSpace);
        value.push_back(tempValue);
    }

    vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n+1,0));
    // //初始状态第一行即可
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i>=space[0]) dp[0][i]=max(dp[0][i-space[0]]+value[0],value[0]);
    }
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            //与01背包唯一不同点就是选择带之后，依然可以选择继续带，则用dp[i][j-space[i]]+value[i]
            if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
            else dp[i][j]=dp[i-1][j];
        }
    }
    cout<<dp[m-1][n];
    return 0;
}

三.一维数组解题

上述代码中都是按“一行”结束后进行下一行的值计算，且每次计算最多只间隔一行，没有出现间隔多行的情况，在计算第100行时只需要第99行，那么保存的0-98行都是浪费内存。

3.1 01背包

1.状态描述：

dp[j]表示空间为j时能装下的最大重量

2.递推公式：

if(j>=space[i]) dp[j]=max(dp[j-space[i]]+value[i],dp[j]);

3.初始状态
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i>=space[0]) dp[i]=value[0];
    }

4.遍历顺序

如果是正序：遍历物品i时

假设dp[j]已经装入了物品i，而后的dp[j+n]也可能装入物品i（可能dp[j-space[i]]的值已经变化了 不再是未装入物品i时的值）

举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]装入了两次物品0

如果是倒序：则不会出现重复装入情况，因为dp[j-space[i]]未变化，未装入物品i

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int m = 0, n = 0;
    cin >> m >> n;
    vector<int> space,value;
    int tempM=m;
    while(tempM--)
    {
        int tempSpace;
        cin>>tempSpace;
        space.push_back(tempSpace);
    }
    tempM=m;
    while(tempM--)
    {
        int tempValue;
        cin>>tempValue;
        value.push_back(tempValue);
    }
    vector<int> dp(n+1,0);
    // //初始状态第一行即可
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i>=space[0]) dp[i]=value[0];
    }
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        for(int j=n;j>=space[i];j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j-space[i]]+value[i],dp[j]);
        }
    }
    cout<<dp[n];
    return 0;
}

 3.2 完全背包

52. 携带研究材料（第七期模拟笔试） (kamacoder.com)

题目与01背包唯一不同点是，物品i可以带入多个

1.将01背包的遍历顺序改为正序

2.修改初始状态 dp[i]=max(dp[i-space[0]]+value[0],value[0]); 

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int m = 0, n = 0;
    cin >> m >> n;
    vector<int> space,value;
    int tempM=m;
    while(tempM--)
    {
        int tempSpace,tempValue;
        cin>>tempSpace>>tempValue;
        space.push_back(tempSpace);
        value.push_back(tempValue);
    }
    vector<int> dp(n+1,0);
    for(int i=space[0];i<=n;i++)
    {
        dp[i]=max(dp[i-space[0]]+value[0],value[0]);
    }
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        for(int j=space[i];j<=n;j++)
        {
            dp[j]=max(dp[j-space[i]]+value[i],dp[j]);
        }
    }
    cout<<dp[n];
    return 0;
}

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