运筹学后半段

第五章动态规划

最优化原理，可以归结为一个递推公式

现实应用：比如最优路径、资源分配、生产计划和库存等

5.1 动态规划的最优化原理及其算法

5.1.1 求解多阶段决策过程的方法

例如：最短路径问题

求A到B的最短路径：

大体思路：递归

5.1.2 动态规划的基本概念及递推公式

基本概念

最优化原理和动态规划递推关系

最优化原理：最优策略的子策略也是最优的

递推关系：

路径加和累计

连乘累计

动态规划的步骤

5.2 动态规划模型举例

5.2.1 资源分配问题（重点）

解

逆向开始书写：

X*：最终实际应该给多少

$$ f_3=Max(d_3+f_4) $$

结论

第六章图与网络分析

定义：

1）图与网络

简单图：既没有自环也没有平行边的图

**‘有向图’😗*每条边都有方向

**‘完全图’😗*任意两个点都有边

n个顶点有 Cn 2个边

**‘网’😗*边或者弧带权值的图

**‘顶点的度（degree）’😗*与该顶点相关联的边的数目

度为0的点：孤立点

度为1的点：悬挂点

链（link）：连续的边构成的顶点序列

圈（loop）：第一个顶点和最后一个顶点相同的链

‘路径’:连续的边构成的顶点序列，且不出现重复

**‘路径长度’😗*路径的权值之和

**‘回路(circuit)’😗*第一个顶点和最后一个顶点相同的路径

走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉回路

**‘简单路径’😗*除了路径起点和终点相同，其余顶点都不同

**‘连通图’😗*对任意两个顶点都有路径

‘联通分量(极大连通子图）’:再加入一个顶点子图不再连通

平面图(planar graph)：在平面上可以画出该图而没有任何边相交

2）最小生成树

图的生成树：（重点）

生成树是图的所有顶点连接在一起，但不形成回路

‘深度优先生成树’:通过深度优先搜索进行遍历的生成树

‘广度优先生成树’:通过广度优先搜索进行遍历的生成树

最小生成树 (各边权值和最小)

‘MST性质(贪心算法)’:'U集合’是已经经过的顶点,在’U’和’U-V’选取权值最小的边,这条边一定在生成树上

Prim算法(选顶点)

(从a结点开始遍历，如果同时出现多个可以选择的结点时，优先把序号较小的结点加入生成树)

Kruskal(选择边)

(如果同时出现多个可以选择的边时，以边中序号较小的结点为第一优先，序号较大的结点为第二优先，按照升序顺序选择。假设边(a,d),(a,e),(b,c)有相同权重,选择优先顺序从大到小为(a,d),(a,e),(b,c))

最短路径（重点）

不同于最小生成树，不用包含全部的顶点

Dijkstra算法(解决到达一个点的最短路径)

步骤：

1.‘初始化’:先找出原点v0到所有顶点的最短路径(v0,vk)

S={v0},T={其余顶点},D[i]存放距离值

2.‘选择’:从这些路径中学出一条长度最短的路径(v0,u)

3.‘更新’:若存在(u,vk)且路径(v0,u,vk)<(v0,vk) 用其代替

4.(v0,u,vk)作为新的顶点集合,重复操作

Floyd算法(解决所有顶点的最短路径)

步骤：

n阶矩阵,对角线元素为0,矩阵存的为对应权值

依次加入中间顶点,如果变短则修改,直到所有点增加完毕

3）网络的最大流和最小截集（重点）

概念：
网络流一般在有向图上讨论
定义网络上支路的容量为其最大通过能力，记为cij ，支路上的实际流量记为fij

满足上述条件的称为可行流，存在最大可行流
当支路上fij = cij ，称为饱和弧

截集与截集容量

s:开始点，t：结束点

定义：

截集：把网络分割为两个成分的弧的最小集合，其中一个成分包含s 点，另一个包含t 点。
最小截集：所有点到外部都是满载的点

福特-富克森定理：网络的最大流等于最小截集容量

确定网络最大流的标号法

饱和弧：fij = cij 的弧
非饱和弧：fij < cij 的弧
零流弧：fij = 0的弧
非零流弧：fij >0 的弧

规定链μ：的方向是从始点s到终点t

正向弧：
第一类是弧的方向与链μ的方向一致，称为前向弧（正向弧），前向弧的全体集合记为μ+；
反向弧：第二类是弧的方向与链μ的方向相反，称为后向弧（反向弧），后向弧的全体集合记为μ-
增广链：

理解：从原点可以增加多少流量到该结点

当μ满足下述条件：

即μ上的前向弧（正向弧）为非饱和弧，后向弧（反向弧）为非零流弧。

最大标号法步骤（重要）

第一步

第二步

例：

如Dijkstra一样，每次合并后所有结点视为一个整体（找的增广链先后顺序无所谓）

第七章随机服务理论概述

7.1 随机服务系统

定义介绍：

系统的输入输出是随机变量，可以称之为排队论和拥塞理论

相关特性

7.1.1 服务机构的组织方式与服务方式

单台制和多台制
并联服务
串联服务
串并联服务、网络服务

7.1.2 输入过程与服务时间

顾客单个到达或成批到达
顾客到达时间间隔的分布和服务时间的分布
顾客源是有限的还是无限的

7.1.3 服务规则

损失制
等待制：先到先服务 ( FIFO)，后到先服务，随机服务，优先权服务

上述两个为重点学习内容

混合制
逐个到达，成批服务；成批到达，逐个服务

7.2 随机服务过程

单台服务系统、等待制、先到先服务
顾客在系统中的总时长：逗留时间=等待时长+服务时长
等待时长与顾客到达率和服务时长有关

例：

间隔到达时间：τ

等待时长：w

服务时长：h

当服务台连续不断服务时，有如下关系：

$w_{i+1}+\tau_{i+1}=w_i+h_i$

wi+hi 表示了累计的未完成的服务时长，一般地有

tips：排队系统的指标及其关系

1）Wq 、Wd 分别是顾客的平均排队等待时间和平均逗留时间
2）Lq 、Ld分别是系统平均排队的顾客数和系统的平均顾客数
3） Ln 是同时接受服务的平均顾客数（即平均服务台占用数）
4） h 是顾客的平均服务时长，λ是顾客的平均到达率（即单位时间内到达的顾客数）。
5）相关公式
$\lambda W_d= \lambda(W_q + h ) = L_q + L_n$

$\lambda W_q$

$L_n = \lambda h$

7.3 服务时间与间隔时间

7.3.1 概述

顾客的服务时间由于多种原因具有不确定性，最好的描述方法就是概率分布；同样顾客到达的间隔时间也具有一定的概率分布
服务时间和到达间隔时间服从什么分布？可以先通过统计得到经验分布，再做理论假设和检验。
经验分布一般采用直方图来表示，如下图

下述内容是之前概率论学过的

主要是讲述

7.3.2 常用的概率分布

定长分布

负指数分布（重点）

爱尔兰分部

7.3.3 负指数分布的特点

负指数分布之所以常用，是因为它有很好的特性，使数学分析变得方便： 期望等于均方差
无记忆性 。指的是不管一次服务已经过去了多长时间，该次服务所剩的服务时间仍服从原负指数分布

证明

普通型：多个独立同分布负指数分布的服务在进行，不可能有两个以上同时结束

证明

7.4 输入过程

顾客到达的分布，可用相继到达顾客的间隔时间描述，也可以用单位时间内到达的顾客数描述

定长输入过程：间隔时间服从定长分布
泊松输入过程：单位时间内到达的顾客数服从泊松分布

7.4.1 泊松输入过程及其特点

泊松分布的均值和方差均为λ ， λ也称为到达率， λt 是(0, t) 时间内顾客到达的期望值

平稳性：顾客到达数只与时间区间长度有关
无后效性：不相交的时间区间内所到达的顾客数是独立的
有限性：在有限的时间区间内，到达的顾客数是有限的。
可叠加性：即独立的泊松分布变量的和仍为泊松分布（概率论）

泊松过程的到达间隔时间为负指数分布

证

7.4.2 马尔科夫链

马尔科夫链（Markov Chain ) 又简称马氏链，是一种 离散事件 随机过程。
用数学式表达为：

X n+ 1 的状态只与 X n 的状态有关，与 X n 前的状态无关，具有无记忆性或无后效性 ，又称马氏性
状态转移是一步一步发生的（从i状态转移到j状态）。令 X n = i 表示系统在时刻 t 处于状态 i 这一事件，一步状态转移概率：

7.5 生灭过程

一种描述自然界生灭现象的数学方法，如细菌的繁殖和灭亡、人口的增减、生物种群的灭种现象等

采用马氏链
- 令 N t 代表系统在时刻 t 的状态，下一瞬间 t =  t 系统的状态只能转移
- 到相邻状态，或维持不变，如图所示：数量 +1 数量 1 ，数量不变
- 三种转移是不相容的，三者必居其一
- 只有具有无记忆性和普通性的过程 分布才适用马氏链
- 令 P j(t) P{ N(t) = j }代表系统在时刻 t 处于状态 j 的概率