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• 1.问题描述
• 2.问题分析
• 3.算法设计
• 4.确定程序框架
• 5.完整的程序
• 6.问题拓展

1．问题描述

求某一范围内完数的个数。

如果一个数等于它的因子之和，则称该数为“完数”（或“完全数”）。例如，6的因子为1、2、3，而6=1+2+3，因此6是“完数”。

2．问题分析

根据完数的定义，解决本题的关键是计算出所选取整数i（i的取值范围不固定）的因子（因子就是所有可以整除这个数的数），然后将各因子累加到变量s（记录所有因子之和），若s等于i，则可确认i为完数，反之则不是完数。

3．算法设计

对于这类求某一范围（本题范围不固定，在编程过程中采用键盘输入的方式）内满足条件的数的问题，一般采用遍历的方式，即一个一个地去判断给定范围内的数值是否满足条件，这一过程可利用循环来实现。

本题的关键是求出选取数值i的因子，即从1到i-1范围内能整除i的数。看某一个数j是不是i的因子，可利用语句“if i%j==0”进行判断，求某一个数的所有因子，需要在1到i-1范围内进行遍历，同样采用循环实现。因此，本题从整体上看可利用两层循环来实现。外层循环控制该数的范围为2～n；内层循环j控制除数的范围为1～i，通过判断i对j取余是否等于0，找到该数的各个因子。程序段如下：

i = 2                                                   # 变量 i 控制选定数的范围
while i <= n:
     ...
     for j in range(i):
         ...

     if s == i:                             # 判断因子之和是否和原数相等
        # 输出当前i是完数
     i += 1

对于某个选定的数，将求得的各因子累加到变量s（累加过程中用到s的初值，故s初值为0）之后，s的值发生改变，若直接将下一个选定数的因子加到s上，得到的值并非所求（此时s的初值不是0而是上一个选定数的因子之和）。因此每次判断下一个选定数之前，必须将变量s的值重新置为0。编程过程中一定要注意变量s重新置0的位置，如果语句放的位置不正确，得到的结果也不是正确结果。

注意：

  Python语言中的整数问题经常涉及判断两个数是否相等或某变量（或表达式）是否满足某一条件的情况，对于这类问题，初学者经常会出现混用赋值符号“=”与等于号“==”的情况。

   赋值符号“=”的优先级别低于其他的运算符，所以对该运算符往往最后读取。它的作用是将一个表达式的值赋给一个变量（左值）。左值必须能够被修改，不能是常量。如while i=10的作用是将右值“10”赋给左值i，每次判断i的值都为10，故表达式的值为非0，即判定条件为真，导致程序进入死循环。

  等于号“”是关系运算符的一种，结果只有True或False两种。它的作用是用来判断等号“”两边参与运算的值是否相等，若相等，则返回True，否则返回False。如while i==10的作用是判断变量i的值是否等于10，若相等，表达式的值为True，否则为False，当表达式为真，程序继续执行循环体语句，否则结束循环。

4．确定程序框架

程序流程图如图所示。

5．完整的程序

%%time
# 完数

if __name__=="__main__":
    n = int(input("请输入所选范围上限： "))
    print(f'输入的范围上限：{n}')
    i = 2                                           # 变量 i 控制选定数的范围
    while i <= n:
        s = 0                                       # s记录累加因子之和，保证每次循环时s的初值为0
        j = 1                                       # j 控制除数范围
        for j in range(i):
            if j != 0 and i % j == 0:       # 判断 j 是不是 i 的因子
                s += j                                      # 因子和

        if s == i:                                          # 判断因子之和是否和原数相等
            print("2到%d之间的完数：%d" %(n, i))
        i += 1

输入的范围上限：10000
2到10000之间的完数：6
2到10000之间的完数：28
2到10000之间的完数：496
2到10000之间的完数：8128
CPU times: user 8.92 s, sys: 10.4 ms, total: 8.93 s
Wall time: 11.8 s

6．问题拓展

上述程序中，求某数的因子时采用从1到i-1范围内进行遍历的方法，一个数一个数地去试。这种方法可以做到没有遗漏，但是效率不高。

对于某一整数来说，其最大因子为n/2（此时n为偶数，若n为奇数，其最大因子小于n/2），在n/2～n-1范围内没有数据可以整除此数。据此，我们可以把遍历范围缩小至1～n-1，这样程序效率可以提高一倍。相应的程序如下：

%%time
# 完数

if __name__=="__main__":
    n = int(input("请输入所选范围上限： "))
    i = 2  # 变量 i 控制选定数范围
    print(n)
    while i <= n:
        s = 0  # s记录累加因子之和,保证每次循环时s的初值为0
        j = 1  # j 控制除数范围
        while j <= (i//2):
            if j != 0 and i % j == 0:  # 判断 j 是不是 i 的因子
                s += j  # 因子和
            j += 1

        if s == i:  # 判断因子之和是否和原数相等
            print("2到%d之间的完数：%d" %(n, i))
        i += 1

10000
2到10000之间的完数：6
2到10000之间的完数：28
2到10000之间的完数：496
2到10000之间的完数：8128
CPU times: user 8.47 s, sys: 5.87 ms, total: 8.47 s
Wall time: 11.1 s