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二叉搜索树

二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种特殊的二叉树，具有以下性质：

有序性： 对于二叉搜索树中的每个节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值，而右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。这意味着对于任何节点，其左子树中的值都小于该节点的值，右子树中的值都大于该节点的值。

唯一性： 二叉搜索树中不存在重复的节点。

搜索操作： 由于二叉搜索树的有序性，可以利用二分查找的思想进行快速的搜索。给定一个值，可以从根节点开始比较，根据比较结果决定是向左子树还是向右子树搜索，直到找到目标节点或者搜索到叶子节点为止。

插入操作： 插入操作也是根据节点值的大小关系进行的。从根节点开始，比较要插入的节点值与当前节点值的大小关系，如果小于当前节点值，则继续在左子树中插入；如果大于当前节点值，则继续在右子树中插入。直到找到合适的位置插入新节点。

删除操作： 删除操作相对复杂一些。如果要删除的节点是叶子节点，则可以直接删除；如果要删除的节点只有一个子节点，则将其子节点替换到被删除节点的位置；如果要删除的节点有两个子节点，则通常选择该节点的前驱节点或者后继节点来替换被删除节点，并递归地删除用于替换的节点。

二叉搜索树的这些性质使得其在搜索、插入和删除等操作上具有较高的效率。然而，如果树的结构不平衡（比如极端情况下，树退化成链表），则操作的时间复杂度可能会退化到O(n)，而不再是平衡状态下的O(log n)。因此，在实际应用中，通常会考虑使用平衡二叉搜索树（如AVL树、红黑树等）来保持搜索性能的稳定。

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解法1 递归法

时间复杂度：在最坏情况下，时间复杂度为 O(h)，其中 h 是树的高度。在一个平衡的二叉搜索树中，树的高度近似为 log(n)，其中 n 是树中节点的数量。但是在最坏情况下，树可能会退化成链表，高度为 n。因此，在最坏情况下，时间复杂度为 O(n)，在平均情况下，为 O(log n)。

空间复杂度：递归调用的栈空间取决于树的高度，因此空间复杂度也是 O(h)。在最坏情况下，树可能会退化成链表，空间复杂度为 O(n)，在平均情况下，为 O(log n)。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) {
        return helper(root,val);
    }
    public TreeNode helper(TreeNode root, int val){
        if(root == null) return null;
        if(root.val == val) return root;
        else if(root.val>val) {
            return searchBST(root.left,val);
        }
        else {
            return searchBST(root.right,val);
        } 
    }
}

解法2 迭代法

时间复杂度：在最坏情况下，时间复杂度为 O(h)，其中 h 是树的高度。在一个平衡的二叉搜索树中，树的高度近似为 log(n)，其中 n 是树中节点的数量。但是在最坏情况下，树可能会退化成链表，高度为 n。因此，在最坏情况下，时间复杂度为 O(n)，在平均情况下，为 O(log n)。

空间复杂度：这种迭代方法不使用递归，只使用了常量级的额外空间，因此空间复杂度是 O(1)。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) {
        // 迭代法
        while(root != null){
            if(root.val > val){
                root = root.left;
            }
            else if(root.val < val){
                root = root.right;
            }
            else{
                return root;
            }
        }
        return null;
    }
}