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力扣递归算法题

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数据结构与算法

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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的  

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现

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乘积最大子数组

题目链接：乘积最大子数组

题目

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

测试用例的答案是一个 32-位 整数。

子数组 是数组的连续子序列。

示例 1:

输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

示例 2:

输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

提示:

• 1 <= nums.length <= 2 * 104
• -10 <= nums[i] <= 10
• nums 的任何前缀或后缀的乘积都 保证 是一个 32-位 整数

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解法

算法原理讲解

1. dp[i] 表示以 i 为结尾的所有子数组的最⼤乘积。
2. dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] * nums[i]) ；

但是，由于正负号的存在，我们很容易就可以得到，这样求 dp[i] 的值是不正确的。因为 dp[i - 1] 的信息并不能让我们得到 dp[i] 的正确值。⽐如数组 [-2, 5, -2] ，⽤上述状态转移得到的 dp数组为 [-2, 5, -2] ，最⼤乘积为 5 。但是实际上的最大乘积应该是所有数相乘，结果为 20 。

所以，我们应该引入一个「最小子数组乘积」。

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我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤

1. 状态显示
2. 状态转移方程
3. 初始化（防止填表时不越界）
4. 填表顺序
5. 返回值

• 状态显示

f[i] 表示：以 i 结尾的所有⼦数组的最大乘积。

g[i] 表示：以 i 结尾的所有⼦数组的最小乘积。

• 状态转移方程

1. 子数组的⻓度为 1 ，也就是 nums[i] ；
2. 子数组的⻓度⼤于 1 ，但 nums[i] > 0 ，此时需要的是 i - 1 为结尾的所有⼦数组的最⼤乘积 f[i - 1] ，再乘上 nums[i] ，也就是 nums[i] * f[i - 1] ；
3. 子数组的⻓度⼤于 1 ，但 nums[i] < 0 ，此时需要的是 i - 1 为结尾的所有⼦数组 的最⼩乘积 g[i - 1] ，再乘上 nums[i] ，也就是 nums[i] * g[i - 1] ；

1. f[i] = max(nums[i], max(nums[i] * f[i - 1], nums[i] * g[i - 1]) )。
2. g[i] = min(nums[i], min(nums[i] * f[i - 1], nums[i] * g[i - 1])) 。

• 初始化（防止填表时不越界）

• 填表顺序

根据状态转移方程可以得出两个表都是从左到右。

• 返回值

返回 f[i] 中的最大值。

以上思路讲解完成，可以自己做一做了。

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代码实现

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        int ret = INT_MIN;

        // 状态显示
        vector<int> f(n + 1);		// 以 i 为结尾，乘积最大子数组
        vector<int> g(n + 1);		// 以 i 为结尾，乘积最小子数组

        // 初始化
        f[0] = 1;
        g[0] = 1;

        // 填表
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int x = nums[i - 1];
            int y = nums[i - 1] * f[i - 1];
            int z = nums[i - 1] * g[i - 1];

            f[i] = max(x, max(y, z));
            g[i] = min(x, min(y, z));

            ret = max(ret, f[i]);
        }
        return ret;
    }
};