极值理论介绍

在风险管理中，将事件分为高频高损、高频低损、低频高损、低频低损。其中低频高损是一种非常棘手的损失事件，常出现在市场大跌、金融体系崩溃、金融危机以及自然灾害等事件中。

由于很难给极端事件一个准确的定义，所以可观测的历史数据非常少。这种问题不仅仅出现在风险管理领域，在其他行业也很普遍。

极值理论(Extreme-value theory )是统计学的一种专门用于研究随机变量分布的极端尾部行为。与一般的中心趋势型统计方法不同，中心趋势性统计方法核心是中心极限定理，但是极端值无法应用中心极限定理（中心极限定理假设样本数量足够大时服从正态分布）。

GEV

假设一个随机损失变量X是独立同分布的（iid）。从F（x）中抽取的一个样本大小为n，且该样本的最大值为M（如果n很大，我们可以把M看作一个极值）。根据Fisher-Tippett定理，当n变大时，极值（即Mn）的分布收敛到下面的广义极值（GEV）分布

其中
$\mu$：极端值的平均数

$\sigma$：极端值的标准差

$ϵ$：形状参数，描述极值分布的尾部形状

当$ϵ>0$，服从Frechet分布，呈现出肥尾的特点。比如t分布，帕累托分布。
当$ϵ=0$，服从Gumbel分布，呈现出指数型尾部，尾部相对瘦（light）。比如正态分布，对数正态分布。
当$ϵ<0$，服从Weibull分布，呈现出比正态分布尾部更瘦的形态。该分布尤其不适用在金融实证中，由于金融数据一般呈现肥尾的特点。

POT

GEV在实际应用中可能会漏掉极值点，POT在此基础上进行改良，先设定一个阈值(threshold)，超过阈值的损失分布服从POT分布，这种方法比GEV方法需要更少的参数。

$\beta$：规模参数

$ϵ$：形状参数，描述极值分布的尾部形状

由此可推导VaR和ES的计算方法：
$$VaR=\mu +\frac{\beta }{ϵ}\{[\frac{n}{N_u}(1-\alpha {)}^{-ϵ}]-1\}$$
$$ES=\frac{VaR}{1-ϵ}+\frac{\beta -ϵ\mu }{1-ϵ}$$

代码实现

from prettytable import PrettyTable
import numpy as np
import akshare as ak
from scipy.stats import genextreme as gev
from scipy.stats import genpareto as pot


# 利用akshare读取股票收益序列
stock = ak.stock_zh_a_hist(symbol='000001', period="daily", start_date="20071012", end_date='20081012', adjust="")
price = stock['收盘']

# GEV
c, loc, scale = gev.fit(price[price < np.percentile(price, 5)])
confidence_level = 0.95
VaR_gev = gev.ppf(confidence_level, c, loc, scale)

# POT
threshold = 17
choose = price[price < threshold]
c, beta, epsilon = pot.fit(choose)
n = float(len(price))
nu = float(len(choose))
VaR_POT = choose.mean() + beta/epsilon * ((n / nu * (confidence_level ** (-float(epsilon)))) - 1)

# print
VaR = PrettyTable(['Tool', 'VaR'])
VaR.add_row(['GEV', round(VaR_gev, 4)])
VaR.add_row(['POT', round(VaR_POT, 4)])
print(VaR.get_string(title="GEV VaR"))

输出结果：