国科大《高级人工智能》罗老师部分——符号主义笔记

• 罗老师上课很有意思，但是这部分内容还是挺难理解的，需要仔细思考
• 今年考试题目这部分跟往年不一样，老师讲的重点（A搜索+归结原理）也没考😅

几个概念

• 逻辑：表示信息以便得出结论的形式语言
• 语法：定义语言中的句子
• 语义：定义句子的意思
• 逻辑研究的内容：研究形式化定义的 sentences 之间的关系
• 两个角度：
  • 语义：entailment 蕴含，逻辑推导
  • 语法：inference 演绎，形式推演
    

一、语义 Entailment 蕴含

1.定义

是基于语义的句子(即句法)之间的一种关系
$$KB\models \alpha$$
知识库KB蕴涵句子$\alpha$，当且仅当$\alpha$在KB为真的所有世界（代指 Model）中为真。
（这个定义要记住）

Model：使sentence为真的assignment（真值指派），即为model

重点：当且仅当$M(KB)\subseteq M(\alpha )$时，$KB\models \alpha$（证$\models$，找Model）

2.命题逻辑：语法与语义

语法（Syntax）：定义语言中的句子；
命题（Proposition）：一个陈述句，要么是对的，要么是错的；
原子命题（Atomic propositions）：最小的命题；
文字（Literals）：原子命题或它们的否定；
语义（Semantics）：每个模型指定每个命题符号的真/假。

注：$\models$不是命题的合法句子

证明：

语义等价转换

3.命题逻辑中的知识库KB

KB：满足命题逻辑语法的 sentence 的集合；
假设：这组 sentence 中，一共有n个原子命题；
真值指派（truth assignment）：对每个原子命题赋值；
一共有2^n种真值指派，其中：使得KB中的每个sentence都为真的真值指派，就是KB的model；
在此基础上，在命题逻辑中，我们可以明确的定义：
$$KB\models \alpha$$

• Entailment ($\models$)：逻辑上的概念，刻画两组sentence之间的关系；
• Implication (¬,∧,∨,⟹,⟺)：Proposition（命题）之间的一种运算子，用真值表刻画语义。

4.什么是valid和satisfiable

• 一个句子是valid，如果他在所有模型都是 true
• 一个句子是satisfiable，如果他在存在true的模型
  
  
  几个证明题：
  
  （之前考过）
  
  5.总结：蕴含的三个等价条件：
  

二、形式推演 Deduction

1.定义：

有两种：11条规则 + 1条规则（归结原理）
Inference：可靠性证明+完备性证明（见上图）

2.归结原理（Resolution）

1）合取范式Conjunctive Normal Form (CNF—universal)
目的是将一些列命题用∧和∨连起来，具体步骤如下：

2）归结：

3）证明归结原理的可靠性与完备性：
可靠性（Sound）：If $KB⊢\alpha$，that $KB\models \alpha$
sound的证明方法很简单，只要check一次resolution的过程是正确的(利用真值表)，实际上就是去证明这个子句合取第二个子句可以蕴含下面那个子句。【用真值指派的方法】

完备性：If $KB\models \alpha$，that $KB⊢\alpha$


4）归结原理+A*搜索

• A*搜索：要设计好一个启发式函数，可以通过原问题的松弛问题的解来进行求解
• 初始状态：{KB，!a}
• 目标：goal（goal包含空集）
• 每次的动作：选一个可以归结的原子命题进行归结。
• 启发函数：所有包含a的句子里找一个最短的，假定这个最短的句子是有k个原子命题。现在已经有!a了，那至少也要做k次归结才能归结出空集，那启发函数就是h()=k。这个估计耗散一定小于等于真实耗散，它是可采纳的。
• 例外的情况：KB推不出a，那就不会有包含空集的goal，那就如果找不到可以归结的原子命题，那搜索就停止。

三、Inference over Horn and Definite Clauses

1.一些概念

“负文字”(negative literal)：文字包含否定符号(¬)；否则称为“正文字”(positive literal)。
Definite clause：有且只有一个正文字
Horn clause：最多只有一个正文字

2.肯定式推理Modus Ponens

可靠性证明：If $KB⊢\alpha$，that $KB\models \alpha$

与归结原理一样，用真值表，即证明：

完备性证明：If $KB\models \alpha$，that $KB⊢\alpha$

注：p是包含变量的句子，p-theta就是按theta赋值，所以p也是蕴含p-theta的

四、一阶谓词逻辑

1.基本形式

全称-存在转化：

2.实例化

3.合一化（理解为某种替代）

理解为某种替换（合一的算子）

4.一阶谓词逻辑的归结原理(重要)

1）归结原理（-替换）

2）合取范式
①去掉存在量词及其修饰的变量使每个都使全称量词修饰的变量
②消去biconditionals（$\iff$）和implications（$\Rightarrow$）
③把$┐$放到里面去
④标准化变量（有些变量不是同一个object，要用不同的变量表示）
⑤Skolemize：用关于x的函数表示依赖于x的变量
⑥通用的全称量词删掉
⑦展开在析取上的合取
Eg：


3）归结策略

删除策略：删除纯文字、删除重言式
限制策略：支持集策略、单文字子句策略、祖先过滤策略

4）GMP的可靠性证明

5.逻辑编程：Prolog

主要思想：编知识库KB
（1）语法（https://ruanyifeng.com/blog/2019/01/prolog.html）

①friend(X, Y) :- friend(Y,X).

• X和Y都是大写，表示这是两个变量；
• 符号:-表示推理关系，含义是只要右边的表达式friend(Y, X)为true，那么左边的表达式friend(X, Y)也为true。

②onesidelove(X, Y) :- loves(X, Y), + loves(Y,X).

• 如果一条规则取决于多个条件同时为true，则条件之间使用逗号分隔；
• 如果一条规则取决于某个条件为false，则在条件之前加上+表示否定。

（2）有时会推出错误的答案（它的实现不sound），有时正确答案也推不出（不complete）【考过】

五、模糊逻辑

（没讲推理）

• 模糊性：事件发生的程度，而不是是否发生
• 随机性：事情发生的不确定性

1.定义

2.模糊集的表示

为了能够表示出论域中的元素与其隶属度之间的对应关系，扎德引入了一种模糊集的表示方式：先为论域中的每个元素都标上其隶属度，然后再用+号把它们连接起来：

连续论域：

3.模糊关系的运算

模糊关系合成：（类似矩阵乘法）

4.用模糊逻辑表示自然语言

六、考试题目整理

1.选择题

2.简答题

3.综合应用题