信号系统之傅里叶变换属性

1 傅里叶变换的线性度

傅里叶变换是线性的，即具有均匀性和可加性的性质。对于傅里叶变换家族的所有四个成员（傅里叶变换、傅里叶级数、DFT 和 DTFT）都是如此。

图 10-1 提供了一个示例，说明均匀性如何成为傅里叶变换的一个属性。图(a)显示了任意时域信号，相应的频谱如(b)所示。将这两个信号分别称为：x[] 和 X[]。均匀性意味着一个域中振幅的变化会在另一个域中产生相同的振幅变化。当时域波形的幅度发生变化时，构成该波形的正弦波和余弦波的幅度也必须相等。

在数学形式中，如果 x[] 和 X[] 是傅里叶变换对，那么对于任何常数 k，kx[] 和 kX[] 也是傅里叶变换对。如果频域用矩形表示法表示，则 kX[] 表示 实部和虚部都乘以 k。如果频域用极性符号表示，则 kX[] 表示幅度乘以 k，而相位保持不变。

傅里叶变换的可加性意味着一个域中的加法对应于另一个域中的加法。图 10-2 显示了一个示例。在此图中，(a)和(b)分别是时域中的信号，分别称为 $x_1[n]$ 和 $x_2[n]$ 。将这些信号相加会产生第三时域信号称为 $x_3[n]$ 的，如©所示。这三个信号中的每一个都有一个频谱，由实部和虚部组成，如(d)至(i)所示。由于两个时域信号相加产生第三个时域信号，两个相应的频谱相加产生第三个频谱。频谱是通过将实部相加到实部，将虚部相加到虚部，以矩形表示法相加。如果： $x_1[n]+x_2[n]=x_3[n]$ ，则： $ReX_1[]+ReX_2[]=ReX_3[]$ 和 $ImX_1[]+ImX_2[]=ImX_3[]$ 。用余弦波和正弦波来考虑这一点。所有的余弦波相加（实部）和所有正弦波相加（虚部），两者之间没有相互作用。

极性形式的频谱不能直接添加；它们必须转换为矩形表示法，添加，然后重新转换回极性形式。这也可以从正弦曲线的行为方式来理解。想象一下，添加两个具有相同频率但振幅( $A_1$ 和 $A_2$ )和相位( $φ_1 和 φ_2$ )的正弦曲线。如果两个相位恰好相同( $φ_1=φ_2$ )，则当正弦曲线相加时，振幅将相加 ( $A_1+A_2$ )。但是，如果两个相恰好相反( $φ_1=-φ_2$ )，则当正弦曲线相加时，振幅将减去( $A_1-A_2$ )。关键是，当正弦波（或光谱）呈极性形式时，不能通过简单地添加幅度和相位来添加它们。

尽管是线性的，但傅里叶变换并不是位移不变的。换言之，时域的偏移与频域的偏移不符。

2 相位特性

在数学形式中：如果 x[n] ↔ MagX[f] & PhaseX[f]，则时域的偏移导致：x[n+s] ↔ MagX[f] & PhaseX[f] + 2πsf（其中 f 表示为采样频率，在 0 到 0.5 之间运行）。换句话说，时域中 s 样本的位移使幅度保持不变，但为相位增加了一个线性项 2πsf。看一个例子来说明它是如何工作的。

图 10-3 显示了当时域波形向左或向右移动时相位受到的影响。在图中(a)到(d)，波形逐渐从以样本128为中心，转变为以样本0为中心。此图形序列考虑到 DFT 将时域视为循环；当部分波形向右退出时，它们会重新出现在左侧。

图 10-3 中的时域波形绕垂直轴对称，即左右两侧是彼此的镜像。具有这种对称性的信号称为线性相位，因为它们的频谱相位是一条直线。同样，没有这种左右对称性的信号称为非线性相位，并且相位不是直线。图(e)至(h)显示了(a)至(d)中信号的相位。当时域波形向右移动时，相位保持直线，但斜率减小。当时域向左移动时，斜率会增加。时域的偏移对应于相位斜率的变化。

图(b)和图(f)显示了相位完全为零的独特情况。当时域信号在样本零附近对称时，就会发生这种情况。乍一看，这种对称性在(b)中可能并不明显；相反，信号似乎在样本 256(即 N/2)附近是对称的。DFT 将时域视为圆形，样本零本质上与样本 N-1 相连。任何在样本零附近对称的信号也将在样本 N/2 附近对称，反之亦然。当使用不将时域视为周期性的傅里叶变换家族成员(例如 DTFT)时，对称性必须在样本零附近才能产生零相位。

图(d)和(h)显示了一个谜语。

首先，假设(d)是通过将©中的波形稍微向右移动而形成的。这意味着(h)中的相位将比(g)中的相位具有略大的负斜率。此阶段显示为第 1 行。
接下来，假设(d)是从(a)开始并向左移动而形成的。在这种情况下，相位的斜率应比(e)略大，如第 2 行所示。
最后，请注意(d)在样品 N/2 周围是对称的，因此应该具有零相位，如第 3 行所示。

这三个阶段中哪一个是正确的？ 它们都是，这取决于 π 和 2π 相位模糊性的排列方式。例如，第 2 行中的每个样本都与第 1 行中的相应样本相差 2π 的整数倍，使它们相等。为了将第 3 行与第 1 行和第 2 行联系起来，还必须考虑 π 歧义。

要理解为什么相位会表现得如此，请想象将波形向右移动一个样本。这意味着构成波形的所有正弦曲线也必须向右移动一个样本。图 10-4 显示了可能是波形一部分的两个正弦曲线：

在(a)中，正弦波的频率非常低，一个样本位移只是整个周期的一小部分。
在(b)中，正弦波的频率为采样率的一半，这是采样数据中可能存在的最高频率。在此频率下，一个样本偏移等于整个 1/2 周期，即 π 弧度。也就是说，当位移以相变表示时，它与被移位的正弦波频率成正比。

例如，考虑一个在样本零附近对称的波形，因此具有零相位。图10-5a显示了该信号在向左或向右移动时的相位如何变化。在最高频率（采样率的一半）下，每向左移动一个样本，相位就会增加 π，而每个样本向右移动一个，相位就会减少 π。在零频率下，没有相移，并且之间的所有频率都遵循一条直线。

到目前为止，使用的所有示例都是线性相位的。图10-5b显示非线性相位信号以相同的方式对移位做出反应。在本例中，非线性相位是一条具有两个矩形脉冲的直线。当时域发生偏移时，这些非线性特征被简单地叠加在变化的斜率上。

当时域波形偏移时，实部和虚部会发生什么？ 实部和虚部通常看起来像随机振荡，没有明显的模式。当时域信号发生偏移时，实部和虚部的摆动模式变得更加振荡，难以解释。

图 10-6 说明相位中包含哪些信息，以及量级中包含哪些信息。 (a)中的波形有两个截然不同的特征：样本编号55处的上升沿和样本编号110处的下降沿。当信息以波形形状编码时，边沿非常重要。边缘表示何时发生某事，将左边的任何东西与右边的任何东西分开。它是最纯粹的时域编码信息。

首先，将(a)中的信号进行DFT，并将频谱转换为极性表示法。
为了找到(b)中的信号，将相位替换为-π和π之间的随机数，并使用逆DFT重建时域波形。换言之，(b)仅基于量级中包含的信息。
以类似的方式，在使用逆DFT之前，通过用小随机数替换大小来找到©。这使得©的重建完全基于该阶段中包含的信息。

结果呢？边缘的位置在©中清晰可见，但在(b)中完全不存在。这是因为当许多正弦曲线在同一位置上升时会形成边缘，只有当它们的相位协调时才有可能。简而言之，关于时域波形形状的大部分信息都包含在相位中，而不是幅度中。这可以与在频域中编码信息的信号（例如音频信号）形成对比。幅度对于这些信号来说最为重要，相位只起次要作用。

为什么左右对称对应于零（或线性）相位？ 图 10-7 提供了答案。这种信号可以分解为左半部分和右半部分，如(a)、(b)和©所示。对称中心(在本例中为零)的样本在左右两半之间平均分配，使两侧成为彼此的完美镜像，如(e)和(f)所示，这两半的大小将是相同的，而相位在符号上是相反的，如(h)和(i)所示。由此产生了两个重要概念：

首先，左右对称的每个信号都会有一个线性相位，因为左半部分的非线性相位正好抵消了右半部分的非线性相位。
其次，想象翻转(b)，使其变成©。时域中的这种左右翻转对大小没有任何影响，但会改变相位中每个点的符号。同样，改变相位符号会使时域信号从左向右翻转。如果信号是连续的，则翻转约为零。如果信号是离散的，则翻转同时围绕样本零和样本 N/2。

更改相位符号是一种非常常见的操作，因此它被赋予了自己的名称和符号，该名称是复共轭，它通过在变量的右上角放置一颗星来表示。例如，如果 X[f] 由 MagX[f] 和 PhaseX[f] 组成，则 X*[f] 称为复共轭，由 MagX[f] 和 -PhaseX[f] 组成。在矩形符号中，复共轭是通过不理会实部并改变虚部的符号来找到的。用数学术语来说，如果 X[f] 由 ReX[f] 和 ImX[f] 组成，那么 X[f] 由 ReX[f] 和 -ImX[f] 组成。

以下是如何在 DSP 中使用复合共轭的几个示例。如果 x[n] 具有 X[f] 的傅里叶变换，则 x[-n] 具有 X*[f] 的傅里叶变换。换句话说，将时域从左翻转为右对应于改变相位的符号。再举一个例子，相关性可以作为卷积来执行。这是通过将其中一个信号从左向右翻转来完成的。在数学形式中，a[n]b[n] 是卷积，而 a[n]b[-n] 是相关。在频域中，这些操作分别对应于A[f]×B[f]和A[f]×B[f]。作为最后一个示例，考虑任意信号 x[n] 及其频谱 X[f]。频谱可以通过将其乘以其复共轭（即 X[f]×X[f]）来更改为零相位。换句话说，无论X[]碰巧有哪个相位，都会通过添加相反的相位来抵消（当频谱相乘时，它们的相位会相加）。在时域中，这意味着 x[n]*x[-n]（一个信号与自身的左右翻转版本卷积）将在样本零附近具有左右对称性，而不管 x[n] 是什么。

3 DFT的周期性

与其他三个傅里叶变换不同，DFT将时域和频域都视为周期性的。

图 10-8 显示了对时域信号的两种不同解释。首先，看一下上部信号，即时域，即N个点。这代表了在科学实验和工程应用中通常如何获取数字信号。例如，这 128 个样本可能是通过定期对某些参数进行采样而获得的。样本 0 与样本 127 不同且分开，因为它们是在不同的时间采集的。从这个信号的形成方式来看，没有理由认为信号左边的样本甚至与右边的样本有关。

不幸的是，DFT并不这么看。如下图所示，DFT 将这 128 个点视为无限长周期信号的单个周期。这意味着采集信号的左侧连接到重复信号的右侧。同样，采集信号的右侧连接到相同周期的左侧。这也可以被认为是采集信号的右侧缠绕并连接到其左侧。在此视图中，样本 127 出现在样本 0 旁边，就像样本 43 出现在样本 44 旁边一样。这被称为循环信号，与将信号视为周期性信号相同。

这种周期性最严重的后果是时域混叠。为了说明这一点，假设获取一个时域信号并将其通过DFT以找到其频谱。可以立即通过逆DFT传递这个频谱来重建原始时域信号。相反，将在使用逆 DFT 之前以某种方式修改频谱。例如，选定的频率可能会被删除、改变幅度或相位、四处移动等。这些是DSP中常规完成的事情。不幸的是，频域中的这些变化会产生一个太长而无法适应的时域信号单个句点。这迫使信号从一个周期溢出到相邻周期。当将时域视为圆形时，右侧溢出的部分信号似乎突然重新出现在信号的左侧，反之亦然。也就是说，信号的溢出部分将自己别名到时域中的新位置。如果这个新位置恰好已经包含现有信号，则整个混乱会增加，从而导致信息丢失。由频域乘法产生的圆卷积是此类混叠的一个很好的例子。

频域中的周期性的行为方式大致相同，但更复杂。示例如图10-9所示。上图显示了频谱的幅度和相位，被视为由分布在采样率的 0 到 0.5 之间的 N/2+1 个样本组成。这是查看频谱的最简单方法，但它并不能解释DFT的许多特性。

下面的两个数字显示了DFT如何将该频谱视为周期性频谱。关键特征是 0 到 0.5 之间的频谱似乎具有 0 到 -0.5 之间的频率镜像。这个负频的镜像对于幅度和相位信号略有不同。在幅度中，信号从左翻转为右。在相位中，信号从左向右翻转，并改变符号。这两种类型的对称性被赋予了名称：幅度被称为偶数信号（它具有偶数对称性），而相位被称为奇数信号（它具有奇数对称性）。如果将频谱转换为实部和虚部，则实部将始终为偶数，而虚部将始终为奇数。

考虑到这些负频率，DFT将频域视为周期性的，周期为采样率的1.0倍，例如-0.5至0.5或0至1.0。就样本数而言，这使得频域周期的长度等于 N，与时域中的长度相同。

频域的周期性使其容易受到频域混叠的影响。想象一个对应于某个频谱的时域信号。如果修改了时域信号，很明显频谱也会发生变化。如果修改后的频谱无法适应提供的空间，它将推入相邻周期。和以前一样，这种混叠会导致两个问题：频率不在应有的位置，不同时期的重叠频率会增加，从而破坏信息。

频域混叠比时域混叠更难理解，因为频域中的周期模式更复杂。考虑一个在频域中被迫从 0.01 移动到 0.49 的单个频率。因此，相应的负频率从-0.01移动到-0.49。当正频率移动时越过 0.5 屏障，负频率被推过 -0.5 屏障。由于频域是周期性的，因此这些相同的事件发生在其他周期中，例如在 0.5 和 1.5 之间。正频率的克隆从左到右交叉频率 1.5，而负频率的克隆从右向左交叉 0.5。现在想象一下，如果只能看到 0 到 0.5 的频段，这会是什么样子。似乎一个向右离开的频率在右边重新出现，但向相反的方向移动。

图 10-10 说明了仅查看单个周期时，混叠在时域和频域中的显示方式。如(a)所示，如果时域信号的一端太长而无法放入单个周期内，则突出的一端将被切断并粘贴到另一侧。相比之下，(b)表明，当频域信号溢出周期时，突出的一端被折叠起来。无论混叠段最终位于何处，它都会添加到已经存在的任何信号中，从而破坏信息。

4 压缩和扩展，多速率方法

如图 10-12 所示，一个域中的信号压缩会导致另一个域的扩展，反之亦然。对于连续信号，如果 X(f) 是 x(t) 的傅里叶变换，则 1/k×X(f/k) 是 x(kt) 的傅里叶变换，其中 k 是控制膨胀或收缩的参数。如果一个事件发生得更快（它在时间上被压缩），它必须由更高的频率组成。如果一个事件发生得较慢（它在时间上扩展），它必须由较低的频率组成。如果采取两个极端中的任何一个，这种模式都成立。也就是说，如果时域信号被压缩到足以成为脉冲，则相应的频谱会扩大到一定程度，从而成为恒定值。同样，如果时域扩展直到它变成一个常数，则频域就变成了一个脉冲。

离散信号的行为方式类似，但还有更多细节。离散信号的第一个问题是混叠。想象一下(a)中的脉冲被压缩得比所示的要多几倍。频谱被放大一个相等的因子，(b)中的几个驼峰被推到0.5以上的频率。由此产生的混叠破坏了简单的扩展/收缩关系。这种类型的混叠也可能发生在时域中。想象一下，(f)中的频谱被压缩得更厉害，导致(e)中的时域信号扩展到相邻周期。

第二个问题是准确定义压缩或扩展离散信号的含义。如图10-12a所示，通过压缩样本所在的底层连续曲线，然后对新的连续曲线进行重新采样以找到新的离散信号来压缩离散信号。同样，离散信号的扩展过程如(e)所示。当离散信号被压缩时，信号中的事件（如脉冲的宽度）发生在较少数量的样本上。同样，扩展信号中的事件发生在更多的样本上。

查看此过程的等效方法是保持底层连续波形相同，但以不同的采样率重新采样。例如，请看图 10-13a，这是一个由 50 个样本组成的离散高斯波形。在(b)中，同一条基础曲线由400个样本表示。(a)和(b)之间的变化可以通过两种方式来查看：

(1)采样率保持不变，但基础波形已扩展到八倍宽
(2)基础波形保持不变，但采样率增加了八倍

以这种方式改变采样率的方法称为多速率技术。如果添加更多样本，则称为插值。如果用于表示信号的样本较少，则称为抽取。

问题来了：如果得到一个任意离散信号，怎么知道底层连续曲线是什么？这取决于信号的信息是在时域中还是在频域中编码。对于时域编码信号，希望底层连续波形是一条穿过所有样本的平滑曲线。在最简单的情况下，可以在点之间画直线，然后绕过粗糙的拐角。下一个复杂级别是使用曲线拟合算法，例如样条函数或多项式拟合。这个问题没有一个“正确”的答案。这种方法基于时域波形中的最小不规则性，并且完全忽略了频率域。

当信号具有在频域中编码的信息时，忽略时域波形并专注于频谱。在进行DFT之前，通过用零填充时域信号，可以获得更精细的频谱采样（频率0和0.5之间的更多样本）。二元性允许它在相反的方向上工作。如果想在时域（插值）中进行更精细的采样，请在采用逆 DFT 之前用零填充频谱。假设要将 50 个样本信号插值为 400 个样本信号。它是这样完成的：

（1）取 50 个样本并添加零以使信号 64 个样本长。
（2）使用 64 点 DFT 求频谱，该频谱将由 33 点实部和 33 点虚部组成。
（3）填充频谱右侧 224 个零（实部和虚部），使频谱长 257 个点。
（4）使用 512 点逆 DFT 将数据转换回时域。这将产生一个 512 样本信号，它是 64 样本信号的高分辨率版本。该信号的前 400 个样本是原始 50 个样本的插值版本。

该技术的主要特点是插值信号由与原始信号完全相同的频率组成。这可能会也可能不会在时域中提供良好的拟合。例如，图10-13（a）和（b）显示了通过该方法将50个样本信号插值到400个样本信号中。插值是原始点之间的平滑拟合，就像使用了曲线拟合例程一样。相比之下，（c）和（d）显示了另一个时域一团糟的例子！（d）中所示的振荡行为出现在信号的边缘或其他不连续性处。这也包括样本 0 和 N-1 之间的任何不连续性，因为时域被视为圆形的。这种不连续性的超调称为吉布斯效应。

5 乘法信号（幅度调制）

一个重要的傅里叶变换性质是，一个域中的卷积对应于另一个域中的乘法。时域信号可以通过乘以它们的频谱来卷积。调幅是相反情况的一个例子，时域中的乘法对应于频域中的卷积。此外，幅度调制提供了一个很好的例子，说明难以捉摸的负频如何进入日常科学和工程问题。

音频信号非常适合短距离通信；当你说话时，房间对面的人会听到你的声音。另一方面，无线电频率非常适合长距离传播。例如，如果将 100 伏、1 MHz 的正弦波馈入天线，则产生的无线电波可以在下一个房间、下一个国家甚至下一个星球上被检测到。调制是将两个信号合并以形成具有两者理想特性的第三个信号的过程。这总是涉及非线性过程，例如乘法；不能只是把两个信号加在一起。在无线电通信中，调制产生的无线电信号可以长距离传播并携带音频或其他信息。

无线电通信是一门非常发达的学科，已经开发了许多调制方案。其中最简单的一种称为幅度调制(amplitude modulation)。图 10-14 显示了幅度调制在时域和频域中的显示方式。本例中将使用连续信号，因为调制通常在模拟电子设备中进行。但是，如果需要，整个过程可以以离散形式进行。

图（a）显示了具有直流偏置的音频信号，使得该信号始终具有正值。图（b）显示，其频谱由300 Hz至3 kHz的频率组成，这是语音通信所需的范围，加上直流分量的尖峰。所有其他频率均已通过模拟滤波去除。图（c）和（d）显示了载波，这是一种比音频信号频率高得多的纯正弦波。在时域中，幅度调制包括将音频信号乘以载波。如（e）所示，这会产生振荡波形，其瞬时振幅与原始音频信号成正比。用场话来说，载波的包络等于调制信号。该信号可以路由到天线，转换为无线电波，然后由接收天线检测。这导致在无线电接收器的电子设备中产生与（e）相同的信号。然后使用检测器或解调器电路将（e）中的波形转换回（a）中的波形。

由于时域信号相乘，因此相应的频谱是卷积的。也就是说，（f）是通过卷积（b）和（d）找到的。由于载流子的频谱是移位的 delta 函数，因此调制信号等于移位到载波频率的音频频谱。这导致调制频谱由三个部分组成：载波、上边带和下边带。

它们分别对应于原始音频信号的三个部分：直流分量、0.3 和 3 kHz 之间的正频率以及 -0.3 和 -3 kHz 之间的负频率。

通信工程师的生死取决于这种类型的频域分析。例如，考虑电视传输的频谱。标准电视信号的频谱范围为 DC 至 6 MHz。通过使用这些频移技术，这些 6 MHz 宽信道中有 82 个相互堆叠。例如，信道 3 为 60 至 66 MHz，信道 4 为 66 至 72 MHz，信道 83 为 884 至 890 MHz等等。电视接收器将所需频道移回 DC 至 6 MHz 频段以在屏幕上显示。这种方案称为频域复用。

6 离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换（DTFT）是傅里叶变换家族的成员，它对非周期性离散信号进行操作。理解DTFT的最佳方式是它与DFT的关系。首先，假设获取了 N 个样本信号，并希望找到其频谱。通过使用DFT，信号可以分解为正弦波和余弦波，频率在采样率的零到二分之一之间相等。用零填充时域信号会使时域周期更长，并使频域中样本之间的间距更窄。当 N 接近无穷大时，时域变为非周期性，频域变为连续信号。这就是 DTFT，即傅里叶变换，它将非周期性离散信号与周期性连续频谱相关联。

DTFT 的数学可以通过从DFT的综合和分析方程（方程8-2、8-3和8-4）开始，并将 N 取为无穷大来理解：

这些关系中有许多微妙的细节。首先，时域信号 x[n] 仍然是离散的，因此用括号表示。相比之下，频域信号 ReX(ω) 和 ImX(ω) 是连续的，因此用括号表示。由于频域是连续的，因此合成方程必须写成积分，而不是求和。

频率在 DFT 的频域中由以下三个变量之一表示：k，从 0 到 N/2 的指数；f，采样率的频率，从 0 到 0.5； ω，采样率的分数，表示为固有频率，从 0 到 π。DTFT的频谱是连续的，因此可以使用 f 或 ω。常见的选择是 ω，因为它通过消除始终存在的因子 2π 使方程更短。当使用 ω 时，频谱从 0 扩展到 π，这相当于 DC 到采样率的一半。

在计算逆DFT时，必须将样本 0 和 N/2 除以 2（方程8-3），然后才能进行合成（方程8-2）。DTFT不需要这样做。DFT 中的这一动作与频谱被定义为频谱密度有关，即每单位带宽的幅度。当光谱变得连续时，端点的特殊处理就消失了。但是，仍然有一个必须包括的归一化因子，DFT（方程 8-3）中的 2/N 在 DTFT（方程 10-2）中变为 1/π。

由于DTFT涉及无限求和和积分，因此无法用数字计算机计算。它的主要用途是在理论问题中作为DFT的替代品。

在其他情况下，脉冲响应可能被称为方程，例如 sinc 函数或指数衰减正弦曲线。DTFT在这里用于以数学方式计算频域作为另一个方程，指定0到0.5之间的整个连续曲线。虽然DFT也可用于此计算，但它只能提供频率响应样本的方程，而不是整个曲线。

7 Parseval 的关系

由于时域和频域是同一信号的等效表示，因此它们必须具有相同的能量。这称为 Parseval 关系，适用于傅里叶变换家族的所有成员。对于 DFT，Parseval 的关系表示为：

该等式的左侧是时域信号中包含的总能量，通过将 N 个样本的能量相加得出。

同样，右侧是频域中包含的能量，通过将 N/2+1 正弦曲线的能量相加得出。请记住，从物理学中可以看出，能量与振幅的平方成正比。例如，弹簧中的能量与位移的平方成正比，电容器中存储的能量与电压的平方成正比。在方程10-1中，X[f]是 x[n] 的频谱，略有修改：第一个和最后一个频率分量 X[0] 和 X[N/2] 被除以 $\sqrt{2}$ 。这种修改，以及方程右侧的 2/N 因子，解释了计算和求和能量的几个微妙细节。

要了解这些校正，首先使用 DFT 找到信号的频域。接下来，将频域转换为重建信号所需的正弦波幅度，如前面的方程 8-3 中定义。这是通过将第一个和最后一个点（样本 0 和 N/2）除以 2，然后将所有点除以 N/2 来完成的。虽然这提供了正弦波的振幅，但它们表示为峰值振幅，而不是能量计算所需的均方根(rms)振幅。在正弦曲线中，峰值振幅除以 $\sqrt{2}$ 转换为均方根。必须对除样本 0 和 N/2 之外的所有频域值进行此校正。这是因为这两个正弦曲线是唯一的；一个是常量值，而另一个在两个常量值之间交替。对于这两种特殊情况，峰值幅度已经等于均方根值。频域中的所有值均平方，然后求和。最后一步是将总和值除以 N，以说明频域中的每个样本被转换为涵盖时域中 N 值的正弦曲线。通过所有这些细节进行处理，可以得出方程 10-1。