欧拉函数的定义

在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目.

欧拉函数的重要性质

若 $(m,n)=1$ (即m与n互质)，则 $\varphi (mn)=\varphi(m)\times \varphi(n)$
若 $p$ 为质数，则 $\varphi(p)=p-1$
若 $p$ 为质数，则 $\varphi(p^{k})=(p-1)\times p^{k-1}$

对于性质2，若 $p$ 为质数，则小于 $p$ 的 $p-1$ 个数都互质，所以 $\varphi(p)=p-1$

根据性质3，若 $p$ 为质数，则在 $1...p...2p...3p...p^{k}$ 中，只有p的倍数与 $p^{k}$ 不互质，则 $p^{k}$

的欧拉函数就等于总数-p的倍数，我们发现以 $1...p$ 做为一个周期循环节，每个循环节共有p-1个，则 $\varphi(p^{k})=\frac{p^{k}}{p}\times(p-1)$ ,化简得 $\varphi(p^{k})=(p-1)\times p^{k-1}$

欧拉函数的计算

根据整数惟一分解定理， $n=\prod_{i=1}^{s}p_{i}^{a_{i}}=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{s}^{a_{s}}$

$\small \varphi(n)=\prod_{i=1}^{s}\varphi(p_{i}^{a_{i}})=\prod_{i=1}^{s}p_{i}^{a_{i}-1}(p-1)=\prod_{i=1}^{s}p_{i}^{a_{i}}(1-\frac{1}{p_{i}})=\prod_{i=1}^{s}p_{i}^{a_{i}}\prod_{i=1}^{s}(1-\frac{1}{p_{i}})=n\times\prod_{i=1}^{s}(1-\frac{1}{p_{i}})=n\times \frac{p_{1}-1}{p_{1}}\times \frac{p_{2}-1}{p_{2}}\times...\times\frac{p_{s}-1}{p_{s}}$

所以欧拉函数仅由n和质因子决定，与次数无关。

根据公式我们有试除法求欧拉函数：

int phi(int n) {
  int res = n;
  for(int i = 2; i <= n / i; i++){
    if(n % i == 0){
      res = res / i * (i - 1);
      while(n % i == 0) n /= i;
    }
  }
  if(n > 1) res = res / n * (n - 1);
  return res;
}

最后回归主题，筛法求欧拉函数，通过线性筛在线性的时间内求出1-n每个数的欧拉函数。

根据上文，当i是质数， $\small phi[i]=i-1$ 。

在线性筛中，每个合数都是被最小质因子筛掉的，那么设有 $\small p_{j}$ 是 $\small m$ 的最小质因子，则 $\small m$ 是通过 $\small p_{j}\times i$ 筛掉的

若 $\small i$ 能被 $\small p_{j}$ 整除，则i包含了m所有的质因子 $\small \varphi(m)=m\times \prod_{k=1}^{s}\frac{p^{k}-1}{p_{k}}=p_{j}\times i\times \frac{p^{k}-1}{p_{k}}=p_{j}\times\varphi(i)$
若 $\small i$ 不能被 $\small p_{j}$ 整除，则 $\small i$ 与 $\small p_{j}$ 是互质的 $\small \varphi(m)=\varphi(p_{j}\times i)=\varphi(p_{j})\times\varphi(i)=(p_{j}-1)\times\varphi(i)$

由上则代码如下，时间复杂度O(n)：

const int N = 1e6 + 9;
int p[N], phi[N], cnt;
bool vis[N];
 
void get_phi(int n) {
  phi[1] = 1;
  for(int i = 2; i <= n; i++) {
    if(!vis[i]) {
      p[cnt++] = i;
      phi[i] = i - 1;
    }
    for(int j = 0; p[j] <= n / i ; j++) {
      int m = i * p[j];
      vis[m] = 1;
      if(i % p[j] == 0) {
        phi[m] = p[j] * phi[i];
        break;
      } else {
        phi[m] = (p[j] - 1) * phi[i];
      }
    }
  }
}

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