压缩感知为什么要进行“不相干欠采样”？

news2024/11/27 7:49:54

压缩感知理论的三个核心要素。1、不相干性信号欠采样；2、稀疏变换；3、非线性迭代重建。

为了通俗解释“不相干性信号欠采样”，我们可以借用一种生活中的例子——拼图。

例子

想象一下，我们有一张由数百片拼图块组成的完整画面。这张拼图代表着我们想要采样的信号。在这个例子中，每一块拼图碎片代表信号的一个样本。

正常情况下，如果我们想获得完整的画面信息，我们需要收集每一块拼图。这相当于传统的采样方法，需要大量的样本来完整重建信号。

现在，让我们引入“稀疏性”的概念。假设我们的大部分拼图块其实是空白的，只有少数几块是有图案的。这种情况下，整个画面就是“稀疏”的，因为信息主要集中在有图案的拼图块中。

按照压缩感知理论，我们不需要收集所有的拼图块就能重建出整张图。只需要随机挑选一些拼图块（这比传统方式需要的数量要少得多），如果我们挑选得当（即满足不相干性），这些随机挑选出来的拼图块实际上包含了足够的信息来重建整个画面，尽管我们没有收集所有的块。

“不相干性信号欠采样”在这个例子中，类似于我们选择的随机拼图块与真实画面图案的分布毫无关联，也就是说，我们如何选择这些拼图块与它们在整个画面中的位置是不相关的。通过这种随机挑选的方式，我们能够以较小的概率选到很多空白块，从而保留更多的有信息的块，这就给了我们重建原图的可能。

如果把这个例子带回信号处理的语境，那些随机挑选的拼图块就相当于在信号的稀疏域（有图案的区域）中随机采样得到的数据点。即使采样得到的数据数量远少于整个拼图块的数量，利用数学方法和算法，我们仍然能够凭借这些看似零散的信息还原出完整的画面——也就是原始的信号。这正是压缩感知理论使能的强大功能。

扩展阅读

压缩感知（Compressed Sensing，或称压缩采样）是一种用来从少量测量中重构信号或图像的技术，特别适用于信号稀疏或可压缩的情况。其三个核心要素分别是：

在这里插入图片描述

不相干性信号欠采样（Incoherent Under-sampling）：

不相干性是指采样方式与信号稀疏表示的基底不相关或者关联性很弱。欠采样意味着采样数低于奈奎斯特采样定律所规定的标准。想象一下你正在观看一场足球赛，但场上的球员很少，所以球场大部分空间是空的。如果你每隔一段时间只看一眼（即欠采样），而球员们（信号）数量很少并且分散开来（稀疏性），那么你可能还是能跟上比赛的进展，这就是因为你能够从少量的观察中抽取出关键信息。在压缩感知中，就是采用这种随机或不规则的方式进行采样，以获得足够的信息来恢复整个场景。

稀疏变换（Sparsity）：

一个信号或图像是稀疏的，如果它能够通过很少的非零系数在某个变换域（例如傅里叶变换、小波变换等）来表达。在上面足球赛的例子中，稀疏性就对应于场上球员的少量（信息集中在少数几个人身上），使得即使在欠采样的情况下，我们也能重建比赛进展的关键信息。

非线性迭代重建（Non-linear Reconstruction）：

由于采样不足，直接从测量得到的数据中重建信号是不可行的。压缩感知通过非线性优化算法来寻找能够最小化某个目标函数（通常是使得稀疏表示的系数最小化）的信号，从而实现重建。就像拼图游戏，你只拿到了部分拼图块，但是通过这些片段你需要重建整个图像。你可能需要尝试各种组合（迭代重建），直到找到那个能使所有块正好拼凑成一个完整图片（最小化目标函数）的解法。

每个要素都是实现高效数据恢复的关键：通过不相干采样获得尽可能丰富的信息，依赖信号的稀疏性以减少恢复所需的信息量，最后通过非线性迭代算法寻找最合适的信号重建解。在医学成像（如MRI）、无线传感、图像处理等领域，压缩感知都已经被证明是一种极具潜力的技术，能够显著降低采集硬件的要求以及加快数据的采集过程。