JSP（Job Shop Scheduling Problem）是一种经典的组合优化问题，它的目标是在一组机器上安排一组工件的加工顺序，使得完成所有工件所需的最短时间（Cmax）最小。JSP 是一个 NP-hard 问题，即没有已知的多项式时间的算法可以找到最优解，因此需要使用一些启发式或近似的方法来求解。

强化学习（Reinforcement Learning, RL）是一种模拟智能体与环境的交互过程的学习方法，它的基本思想是通过不断地尝试不同的动作，观察环境的反馈（奖励或惩罚），来更新智能体的策略（行为准则），从而逐渐提高智能体的性能（累积奖励），直到达到预设的目标。强化学习的优点是可以在不完全或不确定的环境中进行学习，不需要事先知道环境的模型，可以自适应地调整策略，缺点是需要大量的试错，可能陷入局部最优，需要设计合适的奖励函数，状态空间，动作空间等。

结合以上代码，强化学习求解 JSP 问题的流程如下：

• 首先，定义强化学习的基本要素，如状态空间，动作空间，奖励函数，策略，值函数等。

  • 状态空间：表示智能体所处的环境的情况，可以用一个二维矩阵来表示，其中每个元素表示一个机器上的一个工件，每一行表示一个机器，每一列表示一个时间段，每个元素的值表示该工件的编号，如果该位置没有工件，则用 0 表示。例如，[[0, 0, 0, 0, 0], [1, 2, 0, 0, 0], [0, 0, 3, 4, 0]] 表示有三台机器，五个时间段，第一台机器没有工件，第二台机器有工件 1 和 2，第三台机器有工件 3 和 4。

  • 动作空间：表示智能体可以采取的行为的集合，可以用一个列表来表示，其中每个元素表示一个可行的动作，每个动作是一个元组，表示将一个工件从一个机器上移动到另一个机器上，例如，[(1, 2), (2, 3), (3, 1)] 表示可以将工件 1 从机器 2 移动到机器 1，将工件 2 从机器 3 移动到机器 2，将工件 3 从机器 1 移动到机器 3。

  • 奖励函数：表示智能体在每个状态下采取每个动作后，环境给予的反馈，可以用一个函数来表示，输入是一个状态和一个动作，输出是一个数值，表示奖励或惩罚的大小，例如，reward(s, a) = -Cmax(s, a) 表示奖励函数的值是负的 Cmax 值，即完成所有工件所需的最短时间，这样可以让智能体倾向于选择能够减少 Cmax 值的动作。

  • 策略：表示智能体在每个状态下选择每个动作的概率分布，可以用一个函数来表示，输入是一个状态和一个动作，输出是一个数值，表示选择该动作的概率，例如，policy(s, a) = softmax(Q(s, a)) 表示策略函数的值是 Q 函数的 softmax 归一化，即根据 Q 函数的值来分配概率，Q 函数的值越大，概率越高。

  • 值函数：表示智能体在每个状态下或者在每个状态下采取每个动作后，能够获得的期望累积奖励，可以用一个函数来表示，输入是一个状态或者一个状态和一个动作，输出是一个数值，表示期望累积奖励的大小，例如，V(s) = max_a Q(s, a) 表示值函数的值是 Q 函数的最大值，即在当前状态下，选择能够获得最大 Q 值的动作后，能够获得的期望累积奖励，Q(s, a) = r(s, a) + gamma * V(s') 表示 Q 函数的值是当前奖励加上折扣后的下一个状态的值函数的值，即在当前状态下，采取当前动作后，能够获得的期望累积奖励，其中 gamma 是一个常数，表示折扣因子，s' 是下一个状态。

• 然后，初始化强化学习的参数，如初始状态，初始策略，初始值函数，学习率，折扣因子，探索率，终止条件等。

  • 初始状态：表示智能体开始时所处的环境的情况，可以用一个二维矩阵来表示，其中每个元素表示一个机器上的一个工件，每一行表示一个机器，每一列表示一个时间段，每个元素的值表示该工件的编号，如果该位置没有工件，则用 0 表示。例如，[[0, 0, 0, 0, 0], [1, 2, 0, 0, 0], [0, 0, 3, 4, 0]] 表示有三台机器，五个时间段，第一台机器没有工件，第二台机器有工件 1 和 2，第三台机器有工件 3 和 4。

  • 初始策略：表示智能体开始时在每个状态下选择每个动作的概率分布，可以用一个函数来表示，输入是一个状态和一个动作，输出是一个数值，表示选择该动作的概率，例如，policy(s, a) = 1 / len(A(s)) 表示初始策略是均匀分布，即在每个状态下，选择每个动作的概率都相等，其中 A(s) 表示在状态 s 下可行的动作集合。

  • 初始值函数：表示智能体开始时在每个状态下或者在每个状态下采取每个动作后，能够获得的期望累积奖励，可以用一个函数来表示，输入是一个状态或者一个状态和一个动作，输出是一个数值，表示期望累积奖励的大小，例如，V(s) = 0 表示初始值函数都为 0，即在每个状态下，能够获得的期望累积奖励都为 0，Q(s, a) = 0 表示初始 Q 函数都为 0，即在每个状态下，采取每个动作后，能够获得的期望累积奖励都为 0。

  • 学习率：表示智能体在更新值函数时，对新的信息的重视程度，可以用一个常数或者一个函数来表示，输入是一个状态或者一个状态和一个动作，输出是一个数值，表示学习率的大小，例如，alpha = 0.1 表示学习率是一个固定的常数，alpha(s, a) = 1 / N(s, a) 表示学习率是一个递减的函数，其中 N(s, a) 表示在状态 s 下采取动作 a 的次数，这样可以让智能体在初期更加探索，后期更加利用。

  • 折扣因子：表示智能体在计算累积奖励时，对未来的奖励的重视程度，可以用一个常数来表示，输入是一个状态或者一个状态和一个动作，输出是一个数值，表示折扣因子的大小，例如，gamma = 0.9 表示折扣因子是一个接近于 1 的常数，这样可以让智能体更加关注长期的收益，而不是短期的收益。

  • 探索率：表示智能体在选择动作时，以一定的概率随机选择一个动作，而不是根据策略选择一个动作，可以用一个常数或者一个函数来表示，输入是一个状态或者一个状态和一个动作，输出是一个数值，表示探索率的大小，例如，epsilon = 0.1 表示探索率是一个固定的常数，epsilon(s, a) = 1 / t 表示探索率是一个递减的函数，其中 t 表示当前的迭代次数，这样可以让智能体在初期更加探索，后期更加利用。

  • 终止条件：表示智能体在何时停止学习的判断标准，可以用一个布尔值或者一个函数来表示，输入是一个状态或者一个状态和一个动作，输出是一个布尔值，表示是否终止学习，例如，terminate = False 表示终止条件是一个固定的布尔值，terminate(s, a) = (Cmax(s, a) < threshold) 表示终止条件是一个函数，其中 threshold 是一个常数，表示 Cmax 值的阈值，如果在当前状态下，采取当前动作后，Cmax 值小于阈值，就终止学习，这样可以让智能体在达到一定的性能后，停止学习。

• 然后，开始强化学习的过程，即智能体与环境的交互过程，可以用一个循环来表示，当终止条件为 False 时，继续循环。

  • 在循环中，首先根据当前状态和策略，选择一个动作，可以用一个函数来表示，输入是一个状态，输出是一个动作，例如，choose_action(s) = argmax_a policy(s, a) 表示选择一个能够使策略函数值最大的动作，即最有可能被选择的动作，或者 choose_action(s) = random.choice(A(s)) if random.random() < epsilon else argmax_a policy(s, a) 表示以一定的概率随机选择一个动作，否则选择一个能够使策略函数值最大的动作，即以探索率的概率探索，否则利用。

  • 然后，根据当前状态和选择的动作，执行该动作，观察环境的变化，得到下一个状态和奖励，可以用一个函数来表示，输入是一个状态和一个动作，输出是一个状态和一个数值，表示下一个状态和奖励，例如，take_action(s, a) = (s', r(s, a)) 表示执行动作 a 后，得到下一个状态 s' 和奖励 r(s, a)。

  • 然后，根据当前状态，选择的动作，下一个状态，和奖励，更新值函数，可以用一个函数来表示，输入是一个状态，一个动作，一个状态，和一个数值，输出是一个数值，表示更新后的值函数的值，例如，update_V(s, a, s', r) = V(s) + alpha * (r + gamma * V(s') - V(s)) 表示根据贝尔曼方程，用学习率，折扣因子，当前奖励，和下一个状态的值函数的值，来更新当前状态的值函数的值，update_Q(s, a, s', r) = Q(s, a) + alpha * (r + gamma * max_a' Q(s', a') - Q(s, a)) 表示根据贝尔曼方程，用学习率，折扣因子，当前奖励，和下一个状态的最大 Q 值，来更新当前状态和动作的 Q 值。

  • 然后，根据当前状态，选择的动作，下一个状态，和奖励，更新策略，可以用一个函数来表示，输入是一个状态，一个动作，一个状态，和一个数值，输出是一个数值，表示更新后的策略函数的值，例如，update_policy(s, a, s', r) = policy(s, a) + beta * (Q(s, a) - policy(s, a)) 表示用一个常数 beta 和 Q 函数的值，来更新策略函数的值，使其更接近于 Q 函数的值，或者 update_policy(s, a, s', r) = softmax(Q(s, a)) 表示用 softmax 函数，来更新策略函数的值，使其符合概率分布的要求。

  • 最后，将当前状态更新为下一个状态，继续循环，直到终止条件为 True，结束强化学习的过程。

RL求解JSP示例代码笔记

示例代码思维导图

机器调度情况（迭代20次），纵轴-设备号， 横轴-作业工序，

最佳完工时间1442

机器调度情况（迭代200次），最佳完工时间1405

……

关于优先级经验回放区：

结 语

    强化学习算法变体很多，后面得深入学习。示例代码为作业车间调度问题提供了基于强化学习的解决框架，包括了环境的初始化、智能代理的决策过程、学习和评估机制以及结果的保存与可视化。对于一些代码的理解还不够透彻需要日后继续学习研究。