二叉树

几乎每次蓝桥杯软件类大赛都会考核二叉树，它或者作为数据结构题出现，或者应用在其他算法中。大部分高级数据结构是基于二叉树的，例如常用的高级数据结构线段树就是基于二叉树的。二叉树应用广泛和它的形态有关。

二叉树的定义：

二叉树的第1层是一个结点，称为根，它最多有两个子结点，分别是左子结点、右子结点，以它们为根的子树称为左子树、右子树。二叉树上的每个结点，都是按照这个规则逐层往下构建出来的。

 

图3.4 二叉树的形态

满二叉树和完全二叉树是平衡的二叉树，因为每个结点的左右子树的数量都差不多。“链状”二叉树是不平衡的二叉树。只有在平衡的二叉树上才能进行高效的操作，而不平衡的二叉树退化成了线性结构，和低效的链表没多大区别。

二叉树的存储

在算法竞赛中，为了使代码简单高效，编程速度加快，一般用静态数组来实现二叉树。定义一个大小为N的静态结构体数组，用它来存储一棵二叉树。

struct Node {                //静态二叉树
	char value;
	int lson, rson;           //指向左右子结点的存储位置，编程时可把lson简写为ls或者l
} tree[N];                   //编程时可把tree简写为t

编程时一般不用tree[0]，因为0被用来表示空结点，例如叶子结点tree[2]没有子结点，就把它的子结点lson和rson赋值为0。

二叉树的遍历

按访问二叉树的顺序，对父结点、左子结点、右子结点进行组合，有先（父）序遍历、中（父）序遍历、后（父）序遍历这3种访问顺序，这里默认左子结点在右子结点前面。后面的说明都以图3.6所示二叉树为例。

广度优先遍历：

有时需要按层次，一层一层地遍历二叉树，此时用BFS是最合适的。从根结点开始，在每一层，把下一层的结点放进队列。例如用BFS遍历图3.6所示的二叉树的步骤如表3.1所示。

表3.1 用BFS遍历二叉树

出队的顺序：EBGADFICH。按层次深度逐层输出。

在任意时刻，队列中最多只有相邻两层的结点。例如，第3步后，当前队列是GAD，是第2、3层的结点；第4步后，当前队列是ADFI，只有第3层的结点。

深度优先遍历：

用DFS遍历二叉树，代码极其简单。

(1)先序遍历。按父结点、左子结点、右子结点的顺序访问。

在图3.6中，访问返回的结果是EBADCGFIH。

先序遍历用递归实现非常简单，“伪”代码如下。

void preorder (node *root) {
	cout << root ->value;          //输出结点的值
	preorder (root -> lson);       //递归左子树
	preorder (root -> rson);       //递归右子树
}

(2)中序遍历。按左子结点、父结点、右子结点的顺序访问。

在图3.6中，访问返回的结果是ABCDEFGHI。

中序遍历的递归“伪”代码如下。

void inorder (node *root){  
     inorder (root -> lson);        //递归左子树
     cout << root ->value;          //输出
     inorder (root -> rson);        //递归右子树
}

(3)后序遍历。按左子结点、右子结点、父结点的顺序访问。

在图3.6中，访问返回的结果是ACDBFHIGE。

后序遍历的递归“伪”代码如下。

void postorder (node *root){  
     postorder (root -> lson);       //递归左子树
     postorder (root -> rson);       //递归右子树
     cout << root ->value;           //输出
}