小蓝本 第一本《因式分解技巧》 第九章 待定系数法 笔记 （第九天）
- 前言
- 待定系数法
- 二次因式
- 一次因式分解缺陷
- 二次因式分解方法
- 注意
- 既约的情况
- 拓展
- 习题9
- 题目
- 题解
前言
已经进行了9天，第八章有一点烧脑，但感觉还是很不错的，今天来一点几乎不用大脑的 章节。
待定系数法
本章我们主要的焦点落在 整系数的四次多项式。一个整系数多项式如果能分解为2个有理系数的因式的乘积，那么也一定能分解为2个整系数的因式的积。虽然还没有讲到待定系数法，但应用在何处呢？让我们你看一组例子。
二次因式
一次因式分解缺陷
https://cnbjhacker.blog.csdn.net/article/details/128554204 <-第八章博客链接
分解因式：
x
4
+
x
3
+
2
x
2
−
x
+
3
x^4+x^3+2x^2-x+3
x4+x3+2x2−x+3
根据第八章的知识，可以判断出原式的有理根只可能是
±
1
，
±
3
±1，±3
±1，±3
代入原式后，没有一个根能使原式
=
0
=0
=0
∴原式没有有理根
∴原式没有有理系数的一次因式
二次因式分解方法
如果我们设原式可以分解为2个整系数的二次因式的乘积
∵原式四次项系数为1
∴2个二次因式的二次项系数均为1
可确定分解格式为： x 4 + x 3 + 2 x 2 − x + 3 = ( x 2 + a x + b ) ( x 2 + c x + d ) （ a , b , c , d 均为整数） x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)（a,b,c,d均为整数） x4+x3+2x2−x+3=(x2+ax+b)(x2+cx+d)（a,b,c,d均为整数） (1)
现在的问题是求 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d了
比较(1)式2边
x
3
,
x
2
,
x
x^3,x^2,x
x3,x2,x的系数和常数项
可得
∵
b
,
d
b,d
b,d均为整数
∴由(5)式可得
b
,
d
b,d
b,d分别取值为：
※
(
b
,
d
b,d
b,d取值次序不重要，因为2个二次因式最高次项系数相等)
(当2个二次因式最高次项系数不等时，
b
,
d
b,d
b,d取值次序必须考虑)
当
b
=
1
,
d
=
3
b=1,d=3
b=1,d=3时
将
b
=
1
,
d
=
3
b=1,d=3
b=1,d=3代入(4)式得(4′)式
c
+
3
a
=
−
1
c+3a=-1
c+3a=−1（4′）
(1)式 - (4′)式 得
−
2
a
=
2
-2a=2
−2a=2
∴
a
=
−
1
a=-1
a=−1
将
a
=
−
1
a=-1
a=−1代入(2)式 可得
c
=
2
c=2
c=2
将
b
=
1
,
d
=
3
,
a
=
−
1
,
c
=
2
b=1,d=3,a=-1,c=2
b=1,d=3,a=−1,c=2代入(3)做验证，成立
∴
原式
=
(
x
2
−
x
+
1
)
(
x
2
+
2
x
+
3
)
原式=(x^2-x+1)(x^2+2x+3)
原式=(x2−x+1)(x2+2x+3)
不必再试另一组了
注意
分解式是唯一得，当找到合适得一组 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d时，不必再考虑其他的了
既约的情况
并不是所有整系数的四次多项式，都能分解成2个整系数的二次因式的乘积
比如: x 4 − x 2 + 1 x^4-x^2+1 x4−x2+1是否能分解成2个整系数的二次因式的乘积?
原式可分解为 ( x 2 + a x + 1 ) ( x 2 + b x + 1 ) (x^2+ax+1)(x^2+bx+1) (x2+ax+1)(x2+bx+1)或 ( x 2 + a x − 1 ) ( x 2 + b x − 1 ) (x^2+ax-1)(x^2+bx-1) (x2+ax−1)(x2+bx−1)
比较
x
3
x^3
x3与
x
2
x^2
x2的系数可得：
∵
a
+
b
=
0
a+b=0
a+b=0
∴
b
=
−
a
b=-a
b=−a
将
b
=
−
a
b=-a
b=−a代入到
a
b
±
2
=
−
1
ab±2=-1
ab±2=−1中
可得
a
2
=
±
2
+
1
a^2=±2+1
a2=±2+1
∴
a
2
=
3
a^2=3
a2=3或
a
2
=
−
1
a^2=-1
a2=−1
∵
a
a
a为整数
∴
x
4
−
x
2
+
1
x^4-x^2+1
x4−x2+1不能分解成2个整系数(有理系数)的二次因式的积
拓展
其实三次因式和四次因式以及等等都可以以二次因式为前车之鉴
习题9
题目
题解
