算法介绍

K最近邻（K-Nearest Neighbors，KNN）是一种常用的监督学习算法，用于分类和回归任务。该算法基于一个简单的思想：如果一个样本在特征空间中的$k$个最近邻居中的大多数属于某个类别，那么该样本很可能属于这个类别。KNN算法不涉及模型的训练阶段，而是在预测时进行计算。

以下是KNN算法的基本步骤：

• 选择K值： 首先，确定用于决策的邻居数量K。K的选择会影响算法的性能，通常通过交叉验证等方法来确定最优的K值。

• 计算距离： 对于给定的测试样本，计算其与训练集中所有样本的距离。常用的距离度量包括欧几里得距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离等。

• 找到最近的K个邻居： 根据计算得到的距离，找到距离最近的K个训练样本。

• 投票或取平均： 对于分类任务，采用多数表决的方式，即选择K个邻居中最常见的类别作为测试样本的预测类别。对于回归任务，可以取K个邻居的平均值作为预测结果。

KNN算法的优点包括简单易理解，对于小规模数据集表现良好，而且适用于多类别问题。然而，它的缺点包括计算开销较大（特别是对于大规模数据集）、对数据分布敏感，以及对特征范围差异较为敏感。

下面我们来验证$k$近邻算法的正确性：

给定测试样本$x$，若其最近邻样本为$z$，则最近邻分类器出错的概率为：
$$P(err)=1-\sum _{c\in \mathcal{Y}}P(c\mid x)P(c\mid z)\text{\hspace{1em}(1)}$$

我们假设样本是独立同分布的，且均匀的，对于任意的测试样本在附近总能找到式（1）中的训练样本$z$。令$c^{\star }={\text{arg max}}_{c\in \mathcal{Y}}P(c\mid x)$表示贝叶斯最优分类器的结果，有：
$$\begin{array}{rl}P(err)& =1-\sum _{c\in \mathcal{Y}}P(c\mid x)P(c\mid z)\\ & \simeq 1-\sum _{c\in \mathcal{Y}}{P}^2(c\mid x)\\ & =1-P^2(c_1\mid x)-P^2(c_2\mid x)-...-P^2(c^{\star }\mid x)-...-P^2(c_k\mid x)\\ & =1-\sum _{c\in \mathcal{Y},c\ne c^{\star }}{P}^2(c\mid x)-P^2(c^{\star }\mid x)\\ & \le 1-P^2(c^{\star }\mid x)\\ & \le 2\times (1-P(c^{\star }\mid x))\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

这里，$c^{\star }$ 是我们关心的类别，而 $\mathcal{Y}$ 是所有可能的类别的集合。在这一步，我们只考虑了 $c^{\star }$ 这一类别的分类情况，因为我们关注的是样本被错误分类的概率。这样，我们就得到了第五行的推导。

在最后一步，我们使用了不等式 $1-ab\le (1-a)+(1-b)$，其中 $a=P(c^{\star }\mid x)$，$b=P(c^{\star }\mid x)$。这样我们就得到了最终的推导：
$$P(err)\le 2\times (1-P(c^{\star }\mid x))$$

故$k$近邻分类器泛化错误率不超过贝叶斯最优分类器的错误率的两倍。

实验分析

数据集如下所示：

读入数据集：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

data = pd.read_csv('data/4.0a.csv')

定义欧式距离：

# 定义欧氏距离计算函数
def euclidean_distance(point1, point2):
    return np.sqrt(np.sum((point1 - point2) ** 2))

定义KNN算法：

# 定义KNN算法函数
def knn_predict(train_data, test_point, k):
    distances = []
    
    # 计算测试点与每个训练点的距离
    for index, row in train_data.iterrows():
        train_point = row[['Density', 'Sugar inclusion rate']].values
        label = row['label']
        distance = euclidean_distance(test_point, train_point)
        distances.append((distance, label))
    
    # 根据距离排序，选择前k个最近的点
    distances.sort()
    neighbors = distances[:k]
    
    # 统计最近点的标签
    label_counts = {0: 0, 1: 0}
    for _, label in neighbors:
        label_counts[label] += 1
    
    # 返回预测的标签
    return max(label_counts, key=label_counts.get)

执行KNN算法并绘制结果：

# 设定k值
k_value = 3

# 生成密集的点用于绘制决策边界
x_values, y_values = np.meshgrid(np.linspace(0, 1, 100), np.linspace(0, 1, 100))
grid_points = np.c_[x_values.ravel(), y_values.ravel()]

# 预测每个点的标签
predictions = np.array([knn_predict(data, point, k_value) for point in grid_points])

# 将预测结果转换为与 x_values, y_values 相同的形状
predictions = predictions.reshape(x_values.shape)

# 绘制散点图
plt.scatter(data['Density'], data['Sugar inclusion rate'], c=data['label'], cmap='viridis', edgecolors='k')
plt.title('Original Data Points')

# 绘制决策边界
plt.contourf(x_values, y_values, predictions, alpha=0.3, cmap='viridis')
plt.xlabel('Density')
plt.ylabel('Sugar inclusion rate')
plt.title(f'KNN Classification (k={k_value})')

plt.show()