1.背包问题
1.1 01背包
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
1.1.1 用动态规划的方法解决------二维dp数组01背包
①确定dp数组及其下标的含义
dp[i] [j] 表示从下标0-i的物品里任意取，放进容量为j的背包里，价值总和最大为多少。
②确定递推关系
两个方向
不放物品 由dp[i - 1] [j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i] [j]就是dp[i - 1] [j]。
放物品 dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
递归公式： dp[i] [j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i - 1] [j - weight[i]] + value[i]);
③初始化
④遍历顺序
先遍历背包（横向）还是先遍历物品（纵向）都是可以的。
2.一维背包问题
①确定dp的含义
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
②递推关系
dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
③初始化
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
④遍历顺序
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
先遍历背包，再遍历物品，且背包遍历是倒序的。
倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！
3.分割等和子集 题416
背包问题的应用
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0;
// dp[i]中的i表示背包内总和
// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
vector<int> dp(10001, 0);
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
sum += nums[i];
}
// 也可以使用库函数一步求和
// int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
if (sum % 2 == 1) return false;
int target = sum / 2;
// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
// 集合中的元素正好可以凑成总和target
if (dp[target] == target) return true;
return false;
}
};
