1.31
1.线段树
2.Bad Hair Day S（单调栈）
3.01迷宫(BFS连通块问题+剪枝)（连通性问题的并查集解法）
4.健康的荷斯坦奶牛 Healthy Holsteins（DFS）
线段树与树状数组
线段树和树状数组的功能相似，但是线段树的功能要更加强大一些，但是线段树的构造比树状数组更加复杂。
在动态区间和的问题上，朴素暴力的算法复杂度达到了O（n^2）效率很低，在前缀和中，计算出所有的前缀和的复杂度是O（n），而查询只要O（1），所以总复杂度只有O（n），但如果面对的是动态的区间和问题，计算量就会大大增加，如果涉及到区间修改，就会更加棘手，因为修改其中的一个值，会导致后面的前缀和发生改变，所以就需要O（n）的复杂度，那么如果改变m次元素的值，复杂度就达到了O（mn），和暴力的方法是一样的，所以就需要用到树状数组或者是线段树这样的结构，由于这样的结构存储是非线性的，所以在修改元素上的时间是O（logn），同理查询某个元素的复杂度也是O（logn），由于初始化数组的时候，需要逐个读取数值所以初始化的复杂度是O（nlogn）所以总复杂度是O（nlogn），线段树的复杂度和树状数组是相当的，线段树和树状数组的区别就在于树状数组在面对区间查询，区间修改问题时非常棘手，而线段树可以很轻松的解决区间问题
树状数组主要就只有三个函数，lowbit（），更新函数：update（），求和函数：sum（）
#define lowbit(x) (x& (-x))void update(int x,int k)
{
while(x<=n)
{
tree[x]+=k;
x+=lowbit(x);//子节点+k，父节点都要+k
}
}int sum(int x)
{
int res=0;
while (x>0)
{
res+=tree[x];
x-=lowbit(x);//求的是1---x的区间和
}
return res;
}这三个函数构成了树状数组的主要部分
初始化数组
for (int i=1;i<=n;++i)
{
cin>>a[i];
update(i,a[i]);
}全部代码（单点修改+区间查询）https://www.luogu.com.cn/problem/P3374
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=5e5+5;
#define lowbit(x) (x& (-x))
int tree[N],a[N];
int n;
void update(int x,int k)
{
while(x<=n)
{
tree[x]+=k;
x+=lowbit(x);//子节点+k，父节点都要+k
}
}
int sum(int x)
{
int res=0;
while (x>0)
{
res+=tree[x];
x-=lowbit(x);//求的是1---x的区间和
}
return res;
}
signed main()
{
int q;
cin>>n>>q;
for (int i=1;i<=n;++i)
{
cin>>a[i];
update(i,a[i]);
}
for (int i=0;i<q;++i)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
if (a==1)
{
update(b,c);
}
else if (a==2)
{
int ans=0;
ans=sum(c)-sum(b-1);
cout<<ans<<endl;
}
}
}（区间修改+单点查询）需要用到差分数组的性质https://www.luogu.com.cn/problem/P3368
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=5e5+5;
#define lowbit(x) (x& (-x))
int tree[N],a[N],d[N];
int n,q;
void update(int x,int k)
{
while (x<=n)
{
tree[x]+=k;
x+=lowbit(x);
}
}
int sum(int x)
{
int res=0;
while (x>0)
{
res+=tree[x];
x-=lowbit(x);
}
return res;
}
signed main()
{
cin>>n>>q;
for (int i=1;i<=n;++i)
{
cin>>a[i];
d[i]=a[i]-a[i-1];
update(i,d[i]);//放的是差分数组的值，这样树状数组保存的就是差分数组的前缀和
}
for (int i=0;i<q;++i)
{
int op;
cin>>op;
if (op==1)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
update(a,c);
update(b+1,-c);
}
if (op==2)
{
int a;
cin>>a;
int res=sum(a);
cout<<res<<endl;
}
}
}运用线段树会麻烦很多
它需要向上更新函数push_up，向下更新函数push_down，建树函数build，更新函数update和查询函数query
同时树上的节点都是以结构体的形式出现，这样方便找到当前节点的区间
struct node{
int sum;
int l;
int r;
int add;
}tree[4*N];
int a[N];inline void push_up(int p){
tree[p].sum=tree[lc].sum+tree[rc].sum;
}
inline void push_down(int p){
if (tree[p].add){
tree[lc].sum+=tree[p].add*(tree[lc].r-tree[lc].l+1);
tree[lc].add+=tree[p].add;
tree[rc].sum+=tree[p].add*(tree[rc].r-tree[rc].l+1);
tree[rc].add+=tree[p].add;
tree[p].add=0;
}
return ;
}
inline void build(int p,int l,int r){
tree[p]={a[l],l,r,0};
if (l==r) return ;
int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
build(lc,l,mid);
build(rc,mid+1,r);
push_up(p);
}
inline void update(int p,int l,int r,int k){
if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
tree[p].sum+=k*(tree[p].r-tree[p].l+1);
tree[p].add+=k;
return ;
}
push_down(p);
int mid=tree[p].r+tree[p].l>>1;
if (mid>=l) update(lc,l,r,k);
if (mid<r) update(rc,l,r,k);
push_up(p);
}
inline int query(int p,int l,int r){
if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
return tree[p].sum;
}
push_down(p);
int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
int s=0;
if (mid>=l) s+=query(lc,l,r);
if (mid<r) s+=query(rc,l,r);
return s;
}但是打好框架之后解决问题就很简单。只需要改改数值就好了
单点修改+区间查询：https://www.luogu.com.cn/problem/P3374
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define lc p<<1
#define rc p<<1|1
const int N=1e6+10;
struct node{
int sum;
int l;
int r;
int add;
}tree[4*N];
int a[N];
inline void push_up(int p){
tree[p].sum=tree[lc].sum+tree[rc].sum;
}
inline void push_down(int p){
if (tree[p].add){
tree[lc].sum+=tree[p].add*(tree[lc].r-tree[lc].l+1);
tree[lc].add+=tree[p].add;
tree[rc].sum+=tree[p].add*(tree[rc].r-tree[rc].l+1);
tree[rc].add+=tree[p].add;
tree[p].add=0;
}
return ;
}
inline void build(int p,int l,int r){
tree[p]={a[l],l,r,0};
if (l==r) return ;
int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
build(lc,l,mid);
build(rc,mid+1,r);
push_up(p);
}
inline void update(int p,int l,int r,int k){
if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
tree[p].sum+=k*(tree[p].r-tree[p].l+1);
tree[p].add+=k;
return ;
}
push_down(p);
int mid=tree[p].r+tree[p].l>>1;
if (mid>=l) update(lc,l,r,k);
if (mid<r) update(rc,l,r,k);
push_up(p);
}
inline int query(int p,int l,int r){
if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
return tree[p].sum;
}
push_down(p);
int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
int s=0;
if (mid>=l) s+=query(lc,l,r);
if (mid<r) s+=query(rc,l,r);
return s;
}
signed main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for (int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
build(1,1,n);
for (int i=0;i<m;++i){
int op;
cin>>op;
if (op==1){
int a,b;
cin>>a>>b;
update(1,a,a,b);
}else if (op==2){
int a,b;
cin>>a>>b;
int sum1=query(1,a,b);
cout<<sum1<<endl;
}
}
}区间修改+单点查询：https://www.luogu.com.cn/problem/P3368
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define lc p<<1
#define rc p<<1|1
const int N=1e6+10;
struct node{
int sum;
int l;
int r;
int add;
}tree[4*N];
int a[N];
inline void push_up(int p){
tree[p].sum=tree[lc].sum+tree[rc].sum;
}
inline void push_down(int p){
if (tree[p].add){
tree[lc].sum+=tree[p].add*(tree[lc].r-tree[lc].l+1);
tree[lc].add+=tree[p].add;
tree[rc].sum+=tree[p].add*(tree[rc].r-tree[rc].l+1);
tree[rc].add+=tree[p].add;
tree[p].add=0;
}
return ;
}
inline void build(int p,int l,int r){
tree[p]={a[l],l,r,0};
if (l==r) return ;
int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
build(lc,l,mid);
build(rc,mid+1,r);
push_up(p);
}
inline void update(int p,int l,int r,int k){
if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
tree[p].sum+=k*(tree[p].r-tree[p].l+1);
tree[p].add+=k;
return ;
}
push_down(p);
int mid=tree[p].r+tree[p].l>>1;
if (mid>=l) update(lc,l,r,k);
if (mid<r) update(rc,l,r,k);
push_up(p);
}
inline int query(int p,int l,int r){
if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
return tree[p].sum;
}
push_down(p);
int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
int s=0;
if (mid>=l) s+=query(lc,l,r);
if (mid<r) s+=query(rc,l,r);
return s;
}
signed main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for (int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
build(1,1,n);
for (int i=0;i<m;++i){
int op;
cin>>op;
if (op==1){
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
update(1,a,b,c);
}else if (op==2){
int a;
cin>>a;
int sum1=query(1,a,a);
cout<<sum1<<endl;
}
}
}区间修改，区间查询https://www.luogu.com.cn/problem/P3372
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define lc p<<1
#define rc p<<1|1
const int N=1e6+10;
struct node{
int sum;
int l;
int r;
int add;
}tree[4*N];
int a[N];
inline void push_up(int p){
tree[p].sum=tree[lc].sum+tree[rc].sum;
}
inline void push_down(int p){
if (tree[p].add){
tree[lc].sum+=tree[p].add*(tree[lc].r-tree[lc].l+1);
tree[lc].add+=tree[p].add;
tree[rc].sum+=tree[p].add*(tree[rc].r-tree[rc].l+1);
tree[rc].add+=tree[p].add;
tree[p].add=0;
}
return ;
}
inline void build(int p,int l,int r){
tree[p]={a[l],l,r,0};
if (l==r) return ;
int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
build(lc,l,mid);
build(rc,mid+1,r);
push_up(p);
}
inline void update(int p,int l,int r,int k){
if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
tree[p].sum+=k*(tree[p].r-tree[p].l+1);
tree[p].add+=k;
return ;
}
push_down(p);
int mid=tree[p].r+tree[p].l>>1;
if (mid>=l) update(lc,l,r,k);
if (mid<r) update(rc,l,r,k);
push_up(p);
}
inline int query(int p,int l,int r){
if (tree[p].l>=l && tree[p].r<=r){
return tree[p].sum;
}
push_down(p);
int mid=tree[p].l+tree[p].r>>1;
int s=0;
if (mid>=l) s+=query(lc,l,r);
if (mid<r) s+=query(rc,l,r);
return s;
}
signed main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for (int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
build(1,1,n);
for (int i=0;i<m;++i){
int op;
cin>>op;
if (op==1){
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
update(1,a,b,c);
}else if (op==2){
int a,b;
cin>>a>>b;
int sum1=query(1,a,b);
cout<<sum1<<endl;
}
}
}Bad Hair Day Shttps://www.luogu.com.cn/problem/P2866
题目描述
农夫约翰有 �N 头奶牛正在过乱头发节。
每一头牛都站在同一排面朝右，它们被从左到右依次编号为 1,2,⋯ ,�1,2,⋯,N。编号为 �i 的牛身高为 ℎ�hi。第 �N 头牛在最前面，而第 11 头牛在最后面。
对于第 �i 头牛前面的第 �j 头牛，如果 ℎ�>ℎ�+1,ℎ�>ℎ�+2,⋯ ,ℎ�>ℎ�hi>hi+1,hi>hi+2,⋯,hi>hj，那么认为第 �i 头牛可以看到第 �+1i+1 到第 �j 头牛。
定义 ��Ci 为第 �i 头牛所能看到的牛的数量。请帮助农夫约翰求出 �1+�2+⋯+��C1+C2+⋯+CN。
输入格式
输入共 �+1N+1 行。
第一行为一个整数 �N，代表牛的个数。
接下来 �N 行，每行一个整数 ��ai，分别代表第 1,2,⋯ ,�1,2,⋯,N 头牛的身高。
输出格式
输出共一行一个整数，代表 �1+�2+⋯+��C1+C2+⋯+CN。
输入输出样例
输入 #1复制
6 10 3 7 4 12 2
输出 #1复制
5
说明/提示
数据规模与约定
对于 100%100% 的数据，保证 1≤�≤8×1041≤N≤8×104，1≤ℎ�≤1091≤hi≤109。
思路：单调栈，单调减的栈，栈空时入栈，遇到比栈顶大的元素时出栈直到栈空或者栈顶栈顶元素更大，10入栈前，栈内没有元素，所以计数器+0，入栈，3比10小，入栈前计数器+1（栈的长度）由于7的长度大于3，所以3出栈，计数器+1,7入栈，4比7小，计数器+2，4入栈......
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x& - (x))
#define int long long
const int N=8e4+5;
int h[N];
stack<int>st;
signed main(){
int n;
cin>>n;
int sum=0;
for (int i=1;i<=n;++i)cin>>h[i];
for (int i=1;i<=n;++i){
while (!st.empty() && h[st.top()]<=h[i]){
st.pop();
}
sum+=st.size();
st.push(i);
}
cout<<sum;
}01迷宫
题目描述
有一个仅由数字 00 与 11 组成的 �×�n×n 格迷宫。若你位于一格 00 上，那么你可以移动到相邻 44 格中的某一格 11 上，同样若你位于一格 11 上，那么你可以移动到相邻 44 格中的某一格 00 上。
你的任务是：对于给定的迷宫，询问从某一格开始能移动到多少个格子（包含自身）。
输入格式
第一行为两个正整数 �,�n,m。
下面 �n 行，每行 �n 个字符，字符只可能是 00 或者 11，字符之间没有空格。
接下来 �m 行，每行两个用空格分隔的正整数 �,�i,j，对应了迷宫中第 �i 行第 �j 列的一个格子，询问从这一格开始能移动到多少格。
输出格式
�m 行，对于每个询问输出相应答案。
输入输出样例
输入 #1复制
2 2 01 10 1 1 2 2
输出 #1复制
4 4
说明/提示
对于样例，所有格子互相可达。
- 对于 20%20% 的数据，�≤10n≤10；
- 对于 40%40% 的数据，�≤50n≤50；
- 对于 50%50% 的数据，�≤5m≤5；
- 对于 60%60% 的数据，�,�≤100n,m≤100；
- 对于 100%100% 的数据，1≤�≤10001≤n≤1000，1≤�≤1000001≤m≤100000。
思路：连通块问题，用搜索和并查集都可以
用 BFS的时候记得判重，不然会TLE
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x& - (x))
#define int long long
#define check(tx,ty) (tx>=1 && ty >=1 && tx<=n && ty<= n)
const int N=1005;
int vis[N][N],a[N][N];
struct node{
int x;
int y;
}q[1000001];
int dir[4][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};
int step[N][N];
signed main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for (int i=1;i<=n;++i){
for (int j=1;j<=n;++j){
scanf("%1d",&a[i][j]);
}
}
for (int i=0;i<m;++i){
int sx,sy,tail=0,head=0;
int cnt=1;
cin>>sx>>sy;
if (step[sx][sy]!=0){
cout<<step[sx][sy]<<endl;
continue;
}
q[tail].x=sx,q[tail].y=sy;
step[sx][sy]=1;
tail++;
while (head<tail){
int x=q[head].x,y=q[head].y;
for (int i=0;i<4;++i){
int tx=x+dir[i][0],ty=y+dir[i][1];
if (check(tx,ty) && step[tx][ty]==0 && a[tx][ty]!=a[x][y]){
q[tail].x=tx,q[tail].y=ty;
step[tx][ty]=1;
tail++;
cnt++;
}
}
head++;
}
for (int i=0;i<tail;++i){
step[q[i].x][q[i].y]=cnt;
}
printf("%d\n",cnt);
}
}下面是并查集做法
遍历所有的点，如果两个点连通但未合并，那就合并
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x& - (x))
#define int long long
#define check(tx,ty) (tx>=1 && ty >=1 && tx<=n && ty<= n)
const int N=1005;
int f[N*N];
int cnt[N*N];
int aa[N][N];
int dir[4][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};
int find(int x){
if (f[x]==x)return x;
else{
f[x]=find(f[x]);
return f[x];
}
}
void unionn(int i,int j){
f[find(i)]=find(j);
}
signed main(){
int m,n;
cin>>n>>m;
//初始化并查集
for (int i=1;i<=n*n;++i){
f[i]=i;
cnt[i]=1;
}
for (int i=1;i<=n;++i){
for (int j=1;j<=n;++j){
scanf("%1d",&aa[i][j]);
}
}
for (int i=1;i<=n;++i){
for (int j=1;j<=n;++j){
for (int k=0;k<4;++k){
int a=i+dir[k][0],b=j+dir[k][1];
if (a>=1 && a<=n && b>=1 && b<=n){
if (aa[i][j]!=aa[a][b]){
int x=find((i-1)*n+j);
int y=find((a-1)*n+b);
if (x!=y){
unionn(x,y);
cnt[y]+=cnt[x];
}
}
}
}
}
}
while (m--){
int sx,sy;
cin>>sx>>sy;
cout<<cnt[find((sx-1)*n+sy)]<<endl;
}
}健康的荷斯坦奶牛 Healthy Holsteinshttps://www.luogu.com.cn/problem/P1460
题目描述
农民 John 以拥有世界上最健康的奶牛为傲。他知道每种饲料中所包含的牛所需的最低的维他命量是多少。请你帮助农夫喂养他的牛，以保持它们的健康，使喂给牛的饲料的种数最少。
给出牛所需的最低的维他命量，输出喂给牛需要哪些种类的饲料，且所需的饲料剂量最少。
维他命量以整数表示，每种饲料最多只能对牛使用一次，数据保证存在解。
输入格式
第一行一个整数 �v，表示需要的维他命的种类数。
第二行 �v 个整数，表示牛每天需要的每种维他命的最小量。
第三行一个整数 �g，表示可用来喂牛的饲料的种数。
下面 �g 行，第 �n 行表示编号为 �n 饲料包含的各种维他命的量的多少。
输出格式
输出文件只有一行，包括牛必需的最小的饲料种数 �p；后面有 �p 个数，表示所选择的饲料编号（按从小到大排列）。
如果有多个解，输出饲料序号最小的（即字典序最小）。
输入输出样例
输入 #1复制
4 100 200 300 400 3 50 50 50 50 200 300 200 300 900 150 389 399
输出 #1复制
2 1 3
说明/提示
【数据范围】
对于 100%100% 的数据，1≤�≤251≤v≤25，1≤�≤151≤g≤15。
输入的所有整数在 [1,1000][1,1000] 范围内。
思路：DFS排列问题
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x& - (x))
#define int long long
const int N=1000;
int v[N],g[N][N],ans[N],c[N];
int m,n,minx=100000000;
bool check(int x){
for (int i=1;i<=n;++i){
int sum=0;
for (int j=1;j<=x;++j){
sum+=g[c[j]][i];
}
if (sum<v[i])return false;
}
return true;
}
void dfs(int t , int s){
if (s>minx) return ;
if (t>m){
if (check(s)){
if (s<minx){
minx=s;
for (int i=1;i<=minx;++i){
ans[i]=c[i];
}
}
}
return ;
}
c[s+1]=t;
dfs(t+1,s+1);
c[s+1]=0;
dfs(t+1,s);
}
signed main(){
cin>>n;
for (int i=1;i<=n;++i) cin>>v[i];
cin>>m;
for (int i=1;i<=m;++i){
for (int j=1;j<=n;++j){
cin>>g[i][j];
}
}
dfs(1,0);
cout<<minx<<" ";
for (int i=1;i<=minx;++i){
cout<<ans[i]<<" ";
}
}
