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线性Dp的定义

处理起来是线性的（？？？），这部分交给ai老先生解释：

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AcWing 898. 数字三角形

题目链接：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/1002/

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思路

正序Dp：

• 状态表示f[i][j]：
  • 集合：表示的是到第$i$行第$j$列的数的路径和的集合。
  • 属性：Max最大值
• 状态计算：
  • 我们发现f[i][j]是由上一层的相邻两个数取最大值决定的，那么有方程：$$f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j]$$

逆序Dp：

• 状态计算：
  • 是由下面两个相邻的数的最大值来决定的，倒着算即可。

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CODE

正序

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, a[N][N];

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0; i <= n; ++i)
        for(int j = 0; j <= i + 1; ++j)
            a[i][j] = -INF;
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= i; ++j)
            cin >> a[i][j];
            
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= i; ++j){
            a[i][j] = a[i][j] + max(a[i - 1][j], a[i - 1][j - 1]);
        }
    int res = -INF;
    for(int j = 1; j <= n; ++j) res = max(res, a[n][j]);
    cout << res << endl;
}

倒序

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 520, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, a[N][N];

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= i; ++j)
            cin >> a[i][j];
            
    for(int i = n - 1; i >= 1; --i)
        for(int j = 1; j <= i; ++j)
            a[i][j] = max(a[i + 1][j], a[i + 1][j + 1]) + a[i][j];
            
    cout << a[1][1] << endl;
}

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AcWing 895. 最长上升子序列

题目链接：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/1003/

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Dp 分析

• 状态表示f[i]：
  • 集合：在集合 $[1,i]$ 之间的最长上升子序列的长度。
  • 属性：Max
• 状态计算：
  • 可以从哪些状态迁移过来：
    • 在这个区间内的序列长度，即f[k]
  • 每个迁移状态怎么取值：
    • 如果a[i] > a[k] ：f[i] = f[k] + 1
    • 如果a[i] <= a[k]：f[i] = f[k]
    • 最后取最大值即可。

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CODE

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1024, INF = 0x3f3f3f3f; // 定义常量N和INF
int s[N]; // 定义数组s，用于存储输入的序列
int f[N]; // 定义数组f，用于存储以每个元素结尾的最长递增子序列的长度

int main()
{
    int n; // 定义变量n，表示序列的长度
    scanf("%d", &n); // 输入序列的长度
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &s[i]); // 输入序列的元素
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = 1; // 初始化数组f，每个元素的初始值为1
    
    // 动态规划求解最长递增子序列
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= i; ++j)
            f[i] = max(f[i], (s[j] < s[i] ? (f[j] + 1) : 1));
           
    int ans = -INF; // 定义变量ans，用于存储最长递增子序列的长度
    for(int i = 1; i <= n; ++i) ans = max(ans, f[i]); // 找出最长递增子序列的长度
    cout << ans << endl; // 输出最长递增子序列的长度
}

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AcWing 897. 最长公共子序列

题目链接：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/1005/

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Dp 分析

• 状态表示f[i][j]：
  • 集合：表示对 $A$ 序列的前 $i$ 个字母和 $B$ 序列的前 $j$ 个字母所包含的最大公共子序列长度。
  • 属性：Max
• 状态计算：
  • 集合划分：第 $i$ 个和第 $j$ 个字母是否相同。
    • 相同：f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1
    • 不同：f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1])
      • 前 $i-1$ 个字母与前 $j$ 个字母的最大公共子序列。
      • 前 $i$ 个字母与前 $j-1$ 个字母的最大公共子序列。

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CODE

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1024; // 定义常量N
int f[N][N]; 	// 定义二维数组f，用于存储最长公共子序列的长度
char a[N], b[N]; // 定义字符数组a和b，用于存储输入的两个字符串

int main()
{
    int n, m; 	// 定义变量n和m，表示两个字符串的长度
    scanf("%d%d", &n, &m); // 输入两个字符串的长度
    
    cin >> a + 1 >> b + 1; // 输入两个字符串
    
    // 动态规划求解最长公共子序列
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= m; ++j){
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]); // 更新f[i][j]的值
            // 如果a[i]等于b[j]，则更新f[i][j]的值
            if(a[i] == b[j]) f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1; 
        }
        
    cout << f[n][m] << endl; // 输出最长公共子序列的长度
}

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