一、理论

        文章看了以下博文：Sift中尺度空间、高斯金字塔、差分金字塔（DOG金字塔）、图像金字塔-CSDN博客

       该文章对SIFT写的很详细，所以在这里我直接抄过来作为笔记。如果以后作者变为付费文章可以提醒我删除。 

1.图像金字塔

        图像金字塔是一种以多分辨率来解释图像的结构，通过对原始图像进行多尺度像素采样的方式，生成N个不同分辨率的图像。把具有最高级别分辨率的图像放在底部，以金字塔形状排列，往上是一系列像素（尺寸）逐渐降低的图像，一直到金字塔的顶部只包含一个像素点的图像，这就构成了传统意义上的图像金字塔。

获得图像金字塔一般包括二个步骤：

1. 利用低通滤波器平滑图像 

2. 对平滑图像进行抽样（采样）

有两种采样方式——上采样（分辨率逐级升高）和下采样（分辨率逐级降低）

上采样：

下采样：

2.高斯金字塔

高斯金字塔式在Sift算子中提出来的概念，首先高斯金字塔并不是一个金字塔，而是有很多组（Octave）金字塔构成，并且每组金字塔都包含若干层（Interval）。

高斯金字塔构建过程：

1. 先将原图像扩大一倍之后作为高斯金字塔的第1组第1层，将第1组第1层图像经高斯卷积（其实就是高斯平滑或称高斯滤波）之后作为第1组金字塔的第2层，高斯卷积函数为：

对于参数σ，在Sift算子中取的是固定值1.6。

2. 将σ乘以一个比例系数k,等到一个新的平滑因子σ=k*σ，用它来平滑第1组第2层图像，结果图像作为第3层。

3. 如此这般重复，最后得到L层图像，在同一组中，每一层图像的尺寸都是一样的，只是平滑系数不一样。它们对应的平滑系数分别为：0，σ，kσ，k^2σ,k^3σ……k^(L-2)σ。

4.  将第1组倒数第三层图像作比例因子为2的降采样，得到的图像作为第2组的第1层，然后对第2组的第1层图像做平滑因子为σ的高斯平滑，得到第2组的第2层，就像步骤2中一样，如此得到第2组的L层图像，同组内它们的尺寸是一样的，对应的平滑系数分别为：0，σ，kσ，k^2σ,k^3σ……k^(L-2)σ。但是在尺寸方面第2组是第1组图像的一半。

这样反复执行，就可以得到一共O组，每组L层，共计O*L个图像，这些图像一起就构成了高斯金

字塔，结构如下：

在同一组内，不同层图像的尺寸是一样的，后一层图像的高斯平滑因子σ是前一层图像平滑因子的k倍；

在不同组内，后一组第一个图像是前一组倒数第三个图像的二分之一采样，图像大小是前一组的一半；

高斯金字塔图像效果如下，分别是第1组的4层和第2组的4层：

3.尺度空间

图像的尺度空间解决的问题是如何对图像在所有尺度下描述的问题。

在高斯金字塔中一共生成O组L层不同尺度的图像，这两个量合起来（O，L）就构成了高斯金字塔的尺度空间，也就是说以高斯金字塔的组O作为二维坐标系的一个坐标，不同层L作为另一个坐标，则给定的一组坐标（O,L）就可以唯一确定高斯金字塔中的一幅图像。

尺度空间的形象表述：

上图中尺度空间中k前的系数n表示的是第一组图像尺寸是当前组图像尺寸的n倍。

4.DOG金字塔

生成高斯金字塔的目的就是为了构建DOG金字塔。

DOG金字塔的第1组第1层是由高斯金字塔的第1组第2层减第1组第1层得到的。以此类推，逐组逐层生成每一个差分图像，所有差分图像构成差分金字塔。概括为DOG金字塔的第o组第l层图像是有高斯金字塔的第o组第l+1层减第o组第l层得到的。

DOG金字塔的构建可以用下图描术:

每一组在层数上，DOG金字塔比高斯金字塔少一层。后续Sift特征点的提取都是在DOG金字塔上进行的。

DOG金字塔的显示效果如下：

这些长得黑乎乎的图像就是差分金字塔的实际显示效果，只在第1组第1层差分图像上模糊可以看到一个轮廓。但其实这里边包含了大量特征点信息，只是我们人眼已经分辨不出来了。

下边对这些DOG图像进行归一化，可有很明显的看到差分图像所蕴含的特征，并且有一些特征是在不同模糊程度、不同尺度下都存在的，这些特征正是Sift所要提取的“稳定”特征：

二、算法代码

1.python代码

import cv2
from matplotlib import pyplot as plt
img1 = cv2.imread('box.png',0)          # queryImage
img2 = cv2.imread('box_in_scene.png',0) # trainImage
# Initiate SIFT detector
sift = cv2.SIFT()
# find the keypoints and descriptors with SIFT
kp1, des1 = sift.detectAndCompute(img1,None)
kp2, des2 = sift.detectAndCompute(img2,None)
# BFMatcher with default params
bf = cv2.BFMatcher()
matches = bf.knnMatch(des1,des2,k=2)
# Apply ratio test
good = []
for m,n in matches:
    if m.distance < 0.75*n.distance:
        good.append([m])
# cv2.drawMatchesKnn expects list of lists as matches
img3 = cv2.drawMatchesKnn(img1,kp1,img2,kp2,good,flags=2)
plt.imshow(img3)

2.C++代码

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>
#include <opencv2/xfeatures2d.hpp>
void extracte_sift(cv::Mat input,std::vector<cv::KeyPoint> &keypoint,cv::Mat &descriptor){
    cv::Ptr<cv::Feature2D> f2d = cv::xfeatures2d::SIFT::create();
    f2d->detect(input,keypoint);
    cv::Mat image_with_kp;
    f2d->compute(input,keypoint,descriptor);
    cv::drawKeypoints(input, keypoint, image_with_kp, cv::Scalar::all(-1),cv::DrawMatchesFlags::DRAW_RICH_KEYPOINTS);
    cv::imwrite("sift"+std::to_string(keypoint.size())+".png",image_with_kp);
}

void match_two_image(cv::Mat image1,cv::Mat image2, std::vector<cv::KeyPoint> keypoint1,std::vector<cv::KeyPoint> keypoint2,cv::Mat descriptor1,cv::Mat descriptor2){
    cv::FlannBasedMatcher matcher;
    std::vector<cv::DMatch> matches, goodmatches;
    matcher.match(descriptor1,descriptor2, matches);
    cv::Mat  good_matches_image;
    double max_dist = 0; double min_dist = 1000;
    for (int i = 0; i < descriptor1.rows; i++) {
        if (matches[i].distance > max_dist) {
            max_dist = matches[i].distance;
        }
        if (matches[i].distance < min_dist) {
            min_dist = matches[i].distance;
        }
    }
    for (int i = 0; i < descriptor1.rows; i++) {
        if (matches[i].distance < 4 * min_dist) {
            goodmatches.push_back(matches[i]);
        }
    }
    cv::drawMatches(image1, keypoint1, image2, keypoint2,
                    goodmatches, good_matches_image, cv::Scalar::all(-1), cv::Scalar::all(-1),
                    std::vector<char>(), cv::DrawMatchesFlags::NOT_DRAW_SINGLE_POINTS);
    cv::imwrite("good_matches_image.png",good_matches_image);
    {
        std::vector <cv::KeyPoint> RAN_KP1, RAN_KP2;
        std::vector<cv::Point2f> keypoints1, keypoints2;
        for (int i = 0; i < goodmatches.size(); i++) {
            keypoints1.push_back(keypoint1[goodmatches[i].queryIdx].pt);
            keypoints2.push_back(keypoint2[goodmatches[i].trainIdx].pt);
            RAN_KP1.push_back(keypoint1[goodmatches[i].queryIdx]);
            RAN_KP2.push_back(keypoint2[goodmatches[i].trainIdx]);
        }

        std::vector<uchar> RansacStatus;
        cv::findFundamentalMat(keypoints1, keypoints2, RansacStatus, cv::FM_RANSAC);

        std::vector <cv::KeyPoint> ransac_keypoints1, ransac_keypoints2;
        std::vector <cv::DMatch> ransac_matches;
        int index = 0;
        for (size_t i = 0; i < goodmatches.size(); i++)
        {
            if (RansacStatus[i] != 0)
            {
                ransac_keypoints1.push_back(RAN_KP1[i]);
                ransac_keypoints2.push_back(RAN_KP2[i]);
                goodmatches[i].queryIdx = index;
                goodmatches[i].trainIdx = index;
                ransac_matches.push_back(goodmatches[i]);
                index++;
            }
        }
        cv::Mat after_ransac_sift_match;
        cv::drawMatches(image1, ransac_keypoints1, image2, ransac_keypoints2,
                        ransac_matches, after_ransac_sift_match, cv::Scalar::all(-1), cv::Scalar::all(-1),
                        std::vector<char>(), cv::DrawMatchesFlags::NOT_DRAW_SINGLE_POINTS);
        cv::imwrite("after_ransac_sift_match.png",after_ransac_sift_match);
    }
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    cv::Mat image1 = cv::imread(argv[1]);
    cv::Mat image2 = cv::imread(argv[2]);
    std::vector<cv::KeyPoint> keypoint1,keypoint2;
    cv::Mat descriptor1, descriptor2;
    extracte_sift(image1,keypoint1,descriptor1);
    extracte_sift(image2,keypoint2,descriptor2);
    match_two_image(image1,image2,keypoint1,keypoint2,descriptor1,descriptor2);
    return 0;
}