扩散

在给出建模之后，接下来讨论如何将传统意义下的扩散拓展到高阶系统。扩散是一个线性过程，但在许多不同的情况下都有强相关性。扩散这个词实际可指代两个不同的过程：

标准的扩散过程，或者也称为流体模型；
连续时间的随机游走。

在网络上的标准扩散中，一种“物质”被分配到图节点上，并从含量较高的节点流向含量较低的节点。这一过程本质上实现了各节点均衡的再分配，有时候也被称为 consensus。从数学的角度可以线性微分方程来表示： $\dot{x}_{i}(t) = \sum_{j} a_{i j} (x_{j}(t) - x_{i}(t)) = \sum_{j} (L_{0}^{D})_{i j} x_{i}(t).$ 此处， ${x}_{i}(t)$ 代表第 $i$ 个顶点在时刻 $t$ 的浓度， $a_{i j}$ 是网络对应的邻接矩阵， $L_{0}^{D})_{i j}$ 则是扩散拉普拉斯矩阵。事实上，这种平衡的稳定性是由拉普拉斯矩阵的谱性质决定的。上式的解可以通过投影到拉普拉斯特征向量来表示： $x_{i}(t) = \sum_{\alpha = 1}^{N} c_{\alpha}(0) e^{- \lambda_{\alpha} t} \phi_{i}^{(\alpha)}.$ 并可知解的收敛性与拉普拉斯矩阵的最小非零特征相关。与扩散相同，随机游走过程的特征是一个平稳分布，其中每个方向上的概率流彼此相等，并达到平衡。或可建模为随机微分方程。

高阶扩散

不同类型的扩散，取决于定义扩散的单纯形的维数。其思想是用 $x_{\sigma}(t)$ 表示时间 $t$ 时 $k$ 阶一般单纯形 $\sigma$ 处的浓度，并考虑如下耦合动力学方程： $\dot{x}_{\sigma}(t) = \sum_{\sigma^{\prime} \in X_{k}} (L_{k}^{D})_{\sigma \sigma^{\prime}} x_{\sigma^{\prime}}(t).$ 其对应的解为¹： $x_{\sigma}(t) = \sum_{\alpha = 1}^{N_{k}} e^{- \lambda_{\alpha} t} \phi_{\sigma}^{(\alpha)} \sum_{\sigma^{\prime} \in X_{k}} \phi_{\sigma^{\prime}}^{(\alpha)} x_{\sigma^{\prime}}(0).$

题外话

在读这一部分的时候，忽然意识到现在大火的 diffusion models。

记录几篇入门文献：

Understanding diffusion models: A unified prespective
What are diffusion models?
Genenrative modeling by estimating gradients of the data distribution

高阶随机游走

这部分在文中进行了文献罗列。

Example of random walk on hypergraphs. (A) A hypergraph with m = 7 hyperedges of size k = 2 and one hyperedge of size k = 6, and (B) its corresponding projected network. © Probability of finding the walker on node h (circles) and c (squares) for a random walk on the hypergraph (red) and on the projected network (green), and for different size m of the hub.