目录
- 引言
- 一、高斯消元法
- 二、代码模板
- 三、例题
引言
这个高斯消元法主要是线性代数的一些东西，然后步骤跟上课讲的步骤是一样的，只不过使用代码实现了而已，在竞赛和笔试中还是有出现的可能的，所以掌握它还是很重要的，话不多说直接开始吧。
一、高斯消元法
功能就是求解如下方程组的解
核心：把系数对应的矩阵通过初等变换转换为一个单位矩阵（如下图），那么第n+1列的数就是对应的解了。
步骤：
- 枚举每一列C：找到该列绝对值最大的数所在的那一行，将该行交换到最上面，将该行的第一个数变为1，将下面所有行的第C列消成零。
- 再将主对角线上方的元素变成0
二、代码模板
const double esp = 1e-8;
int n;
double a[N][N];
int gauss()
{
int c, r;
for(c = 0, r = 0; c < n; ++c)
{
int t = r;
for(int i = r; i < n; ++i) // 找绝对值最大的一行
{
if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
{
t = i;
}
}
if(fabs(a[t][c]) < esp) continue; // 因为会出现精度问题所以这样表示
for(int j = c; j <= n; ++j) swap(a[t][j], a[r][j]); // 交换最大的一行到最上面
for(int j = n; j >= c; --j) a[r][j] /= a[r][c]; // 将该行的第一个数变为1
for(int i = r + 1; i < n; ++i) // 将该列一下行变为0
{
if(fabs(a[i][c]) < esp) continue;
for(int j = n; j >= c; --j)
{
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
}
}
r++;
}
if(r < n)
{
for(int i = r; i < n; ++i)
{
if(fabs(a[i][n]) > esp) return 2;
}
return 1;
}
for(int i = n - 1; i >= 0; --i)
{
for(int j = i + 1; j < n; ++j)
{
a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
}
}
return 0;
}
三、例题
题目描述：
输入一个包含 n 个方程 n 个未知数的线性方程组。方程组中的系数为实数。求解这个方程组。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含 n+1 个实数，表示一个方程的 n 个系数以及等号右侧的常数。
输出格式
如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个未知数的解，结果保留两位小数。
注意：本题有 SPJ，当输出结果为 0.00 时，输出 -0.00 也会判对。在数学中，一般没有正零或负零的概念，所以严格来说应当输出 0.00，但是考虑到本题作为一道模板题，考察点并不在于此，在此处卡住大多同学的代码没有太大意义，故增加 SPJ，对输出 -0.00 的代码也予以判对。
如果给定线性方程组存在无数解，则输出 Infinite group solutions。
如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。
数据范围
1≤n≤100,所有输入系数以及常数均保留两位小数，绝对值均不超过 100。
输入样例：
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00
输出样例：
1.00
-2.00
3.00
示例代码：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 110;
const double esp = 1e-8;
int n;
double a[N][N];
int gauss()
{
int c, r;
for(c = 0, r = 0; c < n; ++c)
{
int t = r;
for(int i = r; i < n; ++i) // 找绝对值最大的一行
{
if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
{
t = i;
}
}
if(fabs(a[t][c]) < esp) continue; // 因为会出现精度问题所以这样表示
for(int j = c; j <= n; ++j) swap(a[t][j], a[r][j]); // 交换最大的一行到最上面
for(int j = n; j >= c; --j) a[r][j] /= a[r][c]; // 将该行的第一个数变为1
for(int i = r + 1; i < n; ++i) // 将该列一下行变为0
{
if(fabs(a[i][c]) < esp) continue;
for(int j = n; j >= c; --j)
{
a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
}
}
r++;
}
if(r < n)
{
for(int i = r; i < n; ++i)
{
if(fabs(a[i][n]) > esp) return 2;
}
return 1;
}
for(int i = n - 1; i >= 0; --i)
{
for(int j = i + 1; j < n; ++j)
{
a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
}
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; ++i)
{
for(int j = 0; j <= n; ++j)
{
scanf("%lf", &a[i][j]);
}
}
int t = gauss();
if(t)
{
if(t == 1) puts("Infinite group solutions");
else puts("No solution");
}
else
{
for(int i = 0; i < n; ++i) printf("%.2f\n", a[i][n]);
}
return 0;
}
