一、问题描述

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已知两条线段P1P2和Q1Q2，判断P1P2和Q1Q2是否相交，若相交，求出交点。

两条线段的位置关系可以分为三类：

[1] 有重合部分;

[2] 无重合部分但有交点;

[3] 无交点。

注意：这里讨论的是两条线段是否相交，而非两条直线相交。

二、算法的步骤

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2.1 快速排斥实验

设以线段P1P2为对角线的矩形为R，设以线段Q1Q2为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，则两线段不相交。

2.2 跨立实验

如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。

若P1P2跨立Q1Q2，则矢量(P1-Q1)和(P2-Q1)位于矢量(Q2-Q1)的两侧，即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0。

若Q1Q2跨立P1P2，则矢量(Q1-P1)和(Q2-P1)位于矢量(P2-P1)的两侧，即( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( Q2 - P1 ) × ( P2 - P1 ) < 0。

排斥实验和跨立实验的示例如下图所示。

2.3 计算交点

当判定两条线段相交后，可以进行交点的求解，求交点可以用平面几何方法，列点斜式方程来完成。但由于点斜式方程难以处理斜率为0的特殊情况，不方便求解。因而，参用向量法求解交点。

设交点为(x0,y0)，则下列方程组成立：

根据以上方程组，消除参数k1和k2，得到如下方程：

然后求解(x0,y0)，结果如下所示：

2.4 代码实现

线段相交判断/
//排斥实验
bool IsRectCross(const cv::Point &p1, const cv::Point &p2, const cv::Point &q1, const cv::Point &q2)
{
    bool ret = min(p1.x, p2.x) <= max(q1.x, q2.x) &&
        min(q1.x, q2.x) <= max(p1.x, p2.x) &&
        min(p1.y, p2.y) <= max(q1.y, q2.y) &&
        min(q1.y, q2.y) <= max(p1.y, p2.y);

    return ret;
}
//跨立判断
bool IsLineSegmentCross(const cv::Point &pFirst1, const cv::Point &pFirst2, const cv::Point &pSecond1, const cv::Point &pSecond2)
{
    long line1, line2;
    line1 = pFirst1.x * (pSecond1.y - pFirst2.y) +
        pFirst2.x * (pFirst1.y - pSecond1.y) +
        pSecond1.x * (pFirst2.y - pFirst1.y);
    line2 = pFirst1.x * (pSecond2.y - pFirst2.y) +
        pFirst2.x * (pFirst1.y - pSecond2.y) +
        pSecond2.x * (pFirst2.y - pFirst1.y);
    if (((line1 ^ line2) >= 0) && !(line1 == 0 && line2 == 0))
        return false;

    line1 = pSecond1.x * (pFirst1.y - pSecond2.y) +
        pSecond2.x * (pSecond1.y - pFirst1.y) +
        pFirst1.x * (pSecond2.y - pSecond1.y);
    line2 = pSecond1.x * (pFirst2.y - pSecond2.y) +
        pSecond2.x * (pSecond1.y - pFirst2.y) +
        pFirst2.x * (pSecond2.y - pSecond1.y);
    if (((line1 ^ line2) >= 0) && !(line1 == 0 && line2 == 0))
        return false;

    return true;
}
// 获取相交点
bool GetCrossPoint(const cv::Point &p1, const cv::Point &p2, const cv::Point &q1, const cv::Point &q2, long &x, long &y)
{
    if (IsRectCross(p1, p2, q1, q2))
    {
        if (IsLineSegmentCross(p1, p2, q1, q2))
        {
            //求交点
            long tmpLeft, tmpRight;
            tmpLeft = (q2.x - q1.x) * (p1.y - p2.y) - (p2.x - p1.x) * (q1.y - q2.y);
            tmpRight = (p1.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) * (q2.x - q1.x) + q1.x * (q2.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) - p1.x * (p2.y - p1.y) * (q2.x - q1.x);
            x = (int)((double)tmpRight / (double)tmpLeft);
            tmpLeft = (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) - (p2.y - p1.y) * (q1.x - q2.x);
            tmpRight = p2.y * (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) + (q2.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) * (p1.y - p2.y) - q2.y * (q1.x - q2.x) * (p2.y - p1.y);
            y = (int)((double)tmpRight / (double)tmpLeft);
            return true;
        }
    }
    return false;
}

三、参考资料

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https://www.cnblogs.com/dwdxdy/p/3230485.html