[数据结构基础]树和二叉树的概念、结构及性质

news2024/12/23 22:16:23

一. 树

1.1 树的概念及结构

1.2 树和树的节点的相关概念

1.3 定义树的四种方式

1.3.1 说明了树的度为N

1.3.2 采用顺序表的方式存储子节点

1.3.3 采用结构体数组进行存储

1.3.4 左孩子右兄弟表示法（最优）

二. 二叉树

2.1 二叉树的概念及结构

2.2 两种特殊的二叉树

2.3 二叉树的性质

2.4 二叉树的存储

2.4.1 顺序存储

2.4.2 链式存储

一. 树

1.1 树的概念及结构

树是一种非线性结构，它由n（n>=0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做数是因为它的逻辑结构（见图1.1）像一颗倒挂的树，根朝上，叶朝下。

树有一个根节点，根节点没有前驱结点。
除根节点外，其余节点被分为M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、...、Tm，其中每一个集合Ti又是一颗与树类似的子树，每颗子树的根节点只有一个前驱，可以有多个后驱。
任何树都可以被分为根和子树，详见图1.2。

1.2 树和树的节点的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数，如：图1.1中A节点的度为3。
叶子节点（终端节点）：度为0的节点，如：图1.1中J、K、L为叶子节点。
分支节点（非终端节点）：度不为0的节点。
父亲节点（双亲节点）：若一个节点含有子节点，则这个节点为其子节点的父亲节点，如：图1.1中A为B、C、D的父亲节点。
子节点：一个节点含有的子树的根节点为该节点的子节点，如：图1.1中E、F为B的子节点。
兄弟节点：具有相同父节点的节点称为兄弟节点，如：图1.1中B、C、D互为兄弟节点。
树的度：一棵树中，最大节点的度称为树的度，如：图1.1所示树的度为3。
节点的层次：从根节点开始定义，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。如：图1.1中节点A的层次为1，节点B的层次为2，节点J的层次为4。
树的高度（深度）：树中节点的最大层次，如：图1.1中树的高度为4。
堂兄弟节点：父节点在同一层次的节点，如：图1.1中F、G互为堂兄弟节点。
子孙：以某节点为根的子树中任意节点都为该节点的子孙，如：图1.1中所有节点都为A的子孙。
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点均为该节点的祖先，如：图1.1中A为所有节点的祖先，A、C、G均为K、L的祖先。
森林：由m（m>0）颗数构成的集合称为森林。

1.3 定义树的四种方式

1.3.1 说明了树的度为N

struct TreeNode

{

int data; //树节点存储的数据

struct TreeNode[N]; //数的子节点（子节点个数一定<=N）

}

问题：

由于可能存在多个节点的度小于N，会造成空间浪费。
可能不知道树的度是多少

1.3.2 采用顺序表的方式存储子节点

typedef struct TreeNode* SLDataType; //顺序表存储树节点数据类型

typedef struct SeqList //定义顺序表来存储子节点地址

{

SLDataType* a; //指向树的子节点的指针

int sz; //子节点个数

}SeqList;

struct TreeNode

{

int data; //节点数据

SeqList s; //存储子节点地址的顺序表

};

问题：结构相对复杂。

1.3.3 采用结构体数组进行存储

typedef struct TreeNode //树的节点

{

int parent; //父亲节点在数组中的下标

int data; //节点中存储的数据

}TN;

TN tree[...] = {... ...}; //存储树节点结构体的数组

问题：

结构相对复杂。
只能找到一个节点的父亲节点，很难找到一个节点的子节点。

1.3.4 左孩子右兄弟表示法（最优）

上述三种表示树结构的方法各有各的问题，左孩子右兄弟表示法是表示一般树形结构的最优方法。

typedef int DataType;

struct TreeNode

{

struct TreeNode* _firstChild; //指向其左侧第一个子节点

struct TreeNode* _pnextBrother; //指向其1右侧第一个兄弟节点

DataType data;

};

二. 二叉树

2.1 二叉树的概念及结构

一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

可能为空。
由一个根节点加上两颗分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

通俗理解，二叉树就是度最大为2的树，二叉树的典型结构图见图2.1。

二叉树有以下结构特点：

二叉树不存在度大于2的节点。
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2 两种特殊的二叉树

满二叉树

如果一个二叉树每层的节点数都达到了最大值（除了最后一层节点外，所有节点的度均为2），那么它就是满二叉树.满二叉树所有叶子节点都在最后一层，所有分支节点都有两个子节点。
如果一个二叉树的层数为 $k$ ，节点数为 $2^{k}-1$ ，那么它就是满二叉树。

完全二叉树

完全二叉树是从满二叉树中延伸出来的，是一种效率很高的数据结构。
完全二叉树的前N-1层节点数均达到了最大值，最后一层可能不满，但从左到右是连续的。
满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，那么一颗非空二叉树第 $i$ 层的节点数为 $2^{i-1}$ 。
高度为 $h$ 的二叉树含有的最大节点数为 $2^h-1$ 。
对于任何一颗二叉树，若度为0的节点数为 $N_{0}$ ，度为2的节点个数为 $N_2$ ，有： $N_0=N_2+1$
具有n个节点的满二叉树的深度为： $h=log_{2}(n+1)$

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储有两种方式：顺序存储和链式存储

2.4.1 顺序存储

二叉树的顺序存储即使用数组来存储，一般只适用于完全二叉树。对于非完全二叉树，也可以使用顺序存储，但这会造成空间浪费。

特性：

假设parent是数组中父亲节点的下标，则其左孩子节点和右孩子节点在数组中的下标可以表示为：leftchild = 2 × parent + 1、rightchild = 2 × parent + 2。
无论左孩子节点还是右孩子节点，若某个节点的有父亲节点，则：parent = (child - 1) / 2。