算法训练DAY25|回溯2
216.组合总和III
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找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数,并且每种组合中不存在重复的数字。
说明:
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所有数字都是正整数。
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解集不能包含重复的组合。
示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]
示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]
#思路
本题就是在[1,2,3,4,5,6,7,8,9]这个集合中找到和为n的k个数的组合。
相对于77. 组合 ,无非就是多了一个限制,本题是要找到和为n的k个数的组合,而整个集合已经是固定的了[1,...,9]。
想到这一点了,做过77. 组合 之后,本题是简单一些了。
本题k相当于树的深度,9(因为整个集合就是9个数)就是树的宽度。
例如 k = 2,n = 4的话,就是在集合[1,2,3,4,5,6,7,8,9]中求 k(个数) = 2, n(和) = 4的组合。
选取过程如图:
图中,可以看出,只有最后取到集合(1,3)和为4 符合条件。
#回溯三部曲
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确定递归函数参数
和77. 组合 一样,依然需要一维数组path来存放符合条件的结果,二维数组result来存放结果集。
这里我依然定义path 和 result为全局变量。
至于为什么取名为path?从上面树形结构中,可以看出,结果其实就是一条根节点到叶子节点的路径。
vector<vector<int>> result; // 存放结果集 vector<int> path; // 符合条件的结果
接下来还需要如下参数:
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targetSum(int)目标和,也就是题目中的n。
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k(int)就是题目中要求k个数的集合。
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sum(int)为已经收集的元素的总和,也就是path里元素的总和。
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startIndex(int)为下一层for循环搜索的起始位置。
所以代码如下:
vector<vector<int>> result; vector<int> path; void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex)
其实这里sum这个参数也可以省略,每次targetSum减去选取的元素数值,然后判断如果targetSum为0了,说明收集到符合条件的结果了,我这里为了直观便于理解,还是加一个sum参数。
还要强调一下,回溯法中递归函数参数很难一次性确定下来,一般先写逻辑,需要啥参数了,填什么参数。
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确定终止条件
什么时候终止呢?
在上面已经说了,k其实就已经限制树的深度,因为就取k个元素,树再往下深了没有意义。
所以如果path.size() 和 k相等了,就终止。
如果此时path里收集到的元素和(sum) 和targetSum(就是题目描述的n)相同了,就用result收集当前的结果。
所以 终止代码如下:
if (path.size() == k) { if (sum == targetSum) result.push_back(path); return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回 }
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单层搜索过程
本题和77. 组合 区别之一就是集合固定的就是9个数[1,...,9],所以for循环固定i<=9
如图:
处理过程就是 path收集每次选取的元素,相当于树型结构里的边,sum来统计path里元素的总和。
代码如下:
for (int i = startIndex; i <= 9; i++) { sum += i; path.push_back(i); backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex sum -= i; // 回溯 path.pop_back(); // 回溯 }
别忘了处理过程 和 回溯过程是一一对应的,处理有加,回溯就要有减!
参照关于回溯算法,你该了解这些! 中的模板,不难写出如下C++代码:
class Solution { private: vector<vector<int>> result; // 存放结果集 vector<int> path; // 符合条件的结果 // targetSum:目标和,也就是题目中的n。 // k:题目中要求k个数的集合。 // sum:已经收集的元素的总和,也就是path里元素的总和。 // startIndex:下一层for循环搜索的起始位置。 void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) { if (path.size() == k) { if (sum == targetSum) result.push_back(path); return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回 } for (int i = startIndex; i <= 9; i++) { sum += i; // 处理 path.push_back(i); // 处理 backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex sum -= i; // 回溯 path.pop_back(); // 回溯 } } public: vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) { result.clear(); // 可以不加 path.clear(); // 可以不加 backtracking(n, k, 0, 1); return result; } };
#剪枝
这道题目,剪枝操作其实是很容易想到了,想必大家看上面的树形图的时候已经想到了。
如图:
已选元素总和如果已经大于n(图中数值为4)了,那么往后遍历就没有意义了,直接剪掉。
那么剪枝的地方可以放在递归函数开始的地方,剪枝代码如下:
if (sum > targetSum) { // 剪枝操作 return; }
当然这个剪枝也可以放在 调用递归之前,即放在这里,只不过要记得 要回溯操作给做了。
for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) { // 剪枝 sum += i; // 处理 path.push_back(i); // 处理 if (sum > targetSum) { // 剪枝操作 sum -= i; // 剪枝之前先把回溯做了 path.pop_back(); // 剪枝之前先把回溯做了 return; } backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex sum -= i; // 回溯 path.pop_back(); // 回溯 }
和回溯算法:组合问题再剪剪枝 一样,for循环的范围也可以剪枝,i <= 9 - (k - path.size()) + 1就可以了。
最后C++代码如下:
class Solution { private: vector<vector<int>> result; // 存放结果集 vector<int> path; // 符合条件的结果 void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) { if (sum > targetSum) { // 剪枝操作 return; } if (path.size() == k) { if (sum == targetSum) result.push_back(path); return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回 } for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) { // 剪枝 sum += i; // 处理 path.push_back(i); // 处理 backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex sum -= i; // 回溯 path.pop_back(); // 回溯 } } public: vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) { result.clear(); // 可以不加 path.clear(); // 可以不加 backtracking(n, k, 0, 1); return result; } };
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时间复杂度: O(n * 2^n)
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空间复杂度: O(n)
17.电话号码的字母组合
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给定一个仅包含数字 2-9 的字符串,返回所有它能表示的字母组合。
给出数字到字母的映射如下(与电话按键相同)。注意 1 不对应任何字母。
示例:
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输入:"23"
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输出:["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"].
说明:尽管上面的答案是按字典序排列的,但是你可以任意选择答案输出的顺序。
#思路
从示例上来说,输入"23",最直接的想法就是两层for循环遍历了吧,正好把组合的情况都输出了。
如果输入"233"呢,那么就三层for循环,如果"2333"呢,就四层for循环.......
大家应该感觉出和77.组合 遇到的一样的问题,就是这for循环的层数如何写出来,此时又是回溯法登场的时候了。
理解本题后,要解决如下三个问题:
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数字和字母如何映射
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两个字母就两个for循环,三个字符我就三个for循环,以此类推,然后发现代码根本写不出来
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输入1 * #按键等等异常情况
#数字和字母如何映射
可以使用map或者定义一个二维数组,例如:string letterMap[10],来做映射,我这里定义一个二维数组,代码如下:
const string letterMap[10] = { "", // 0 "", // 1 "abc", // 2 "def", // 3 "ghi", // 4 "jkl", // 5 "mno", // 6 "pqrs", // 7 "tuv", // 8 "wxyz", // 9 };
#回溯法来解决n个for循环的问题
例如:输入:"23",抽象为树形结构,如图所示:
图中可以看出遍历的深度,就是输入"23"的长度,而叶子节点就是我们要收集的结果,输出["ad", "ae", "af", "bd", "be", "bf", "cd", "ce", "cf"]。
回溯三部曲:
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确定回溯函数参数
首先需要一个字符串s来收集叶子节点的结果,然后用一个字符串数组result保存起来,这两个变量我依然定义为全局。
这个index是记录遍历第几个数字了,就是用来遍历digits的(题目中给出数字字符串),同时index也表示树的深度。
代码如下:
vector<string> result; string s; void backtracking(const string& digits, int index)
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确定终止条件
例如输入用例"23",两个数字,那么根节点往下递归两层就可以了,叶子节点就是要收集的结果集。
那么终止条件就是如果index 等于 输入的数字个数(digits.size)了(本来index就是用来遍历digits的)。
然后收集结果,结束本层递归。
代码如下:
if (index == digits.size()) { result.push_back(s); return; }
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确定单层遍历逻辑
首先要取index指向的数字,并找到对应的字符集(手机键盘的字符集)。
然后for循环来处理这个字符集,代码如下:
int digit = digits[index] - '0'; // 将index指向的数字转为int string letters = letterMap[digit]; // 取数字对应的字符集 for (int i = 0; i < letters.size(); i++) { s.push_back(letters[i]); // 处理 backtracking(digits, index + 1); // 递归,注意index+1,一下层要处理下一个数字了 s.pop_back(); // 回溯 }
注意:输入1 * #按键等等异常情况
代码中最好考虑这些异常情况,但题目的测试数据中应该没有异常情况的数据,所以我就没有加了。
但是要知道会有这些异常,如果是现场面试中,一定要考虑到!
// 版本一 class Solution { private: const string letterMap[10] = { "", // 0 "", // 1 "abc", // 2 "def", // 3 "ghi", // 4 "jkl", // 5 "mno", // 6 "pqrs", // 7 "tuv", // 8 "wxyz", // 9 }; public: vector<string> result; string s; void backtracking(const string& digits, int index) { if (index == digits.size()) { result.push_back(s); return; } int digit = digits[index] - '0'; // 将index指向的数字转为int string letters = letterMap[digit]; // 取数字对应的字符集 for (int i = 0; i < letters.size(); i++) { s.push_back(letters[i]); // 处理 backtracking(digits, index + 1); // 递归,注意index+1,一下层要处理下一个数字了 s.pop_back(); // 回溯 } } vector<string> letterCombinations(string digits) { s.clear(); result.clear(); if (digits.size() == 0) { return result; } backtracking(digits, 0); return result; } };
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时间复杂度: O(3^m * 4^n),其中 m 是对应四个字母的数字个数,n 是对应三个字母的数字个数
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空间复杂度: O(3^m * 4^n)
一些写法,是把回溯的过程放在递归函数里了,例如如下代码,我可以写成这样:(注意注释中不一样的地方)
// 版本二 class Solution { private: const string letterMap[10] = { "", // 0 "", // 1 "abc", // 2 "def", // 3 "ghi", // 4 "jkl", // 5 "mno", // 6 "pqrs", // 7 "tuv", // 8 "wxyz", // 9 }; public: vector<string> result; void getCombinations(const string& digits, int index, const string& s) { // 注意参数的不同 if (index == digits.size()) { result.push_back(s); return; } int digit = digits[index] - '0'; string letters = letterMap[digit]; for (int i = 0; i < letters.size(); i++) { getCombinations(digits, index + 1, s + letters[i]); // 注意这里的不同 } } vector<string> letterCombinations(string digits) { result.clear(); if (digits.size() == 0) { return result; } getCombinations(digits, 0, ""); return result; } };
我不建议把回溯藏在递归的参数里这种写法,很不直观,我在二叉树:以为使用了递归,其实还隐藏着回溯 这篇文章中也深度分析了,回溯隐藏在了哪里。
所以大家可以按照版本一来写就可以了。