AVL树 – C++实现
1. AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。这个树就是用它们两个的名字AVL命名的。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
-
它的左右子树都是AVL树
-
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
**如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n)，搜索时间复杂度O( l o g 2 n log_2 n log2n)。 **
2. AVL树节点的定义
AVL树节点的定义：
template<class K,class V> struct AVLTreeNode { AVLTreeNode<K, V>* _left; AVLTreeNode<K, V>* _right; AVLTreeNode<K, V>* _parent; pair<K, V> _kv; //平衡因子 balance factor int _bf; AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv = pair<K,V>()) :_left(nullptr) ,_right(nullptr) ,_parent(nullptr) ,_kv(kv) ,_bf(0) { } };
3. AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- **调整节点的平衡因子 **
bool insert(const pair<K,V>& kv) { // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中 // ... // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性 /* cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况： 1. 如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可 2. 如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可 此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2 1. 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功 2. 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新 3. 如果parent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理 */ if (_root == nullptr) { Node* newnode = new Node(kv); _root = newnode; return true; } Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } //插入 cur = new Node(kv);//新节点 cur->_parent = parent; if (kv.first < parent->_kv.first) { parent->_left = cur; } else if (kv.first > parent->_kv.first) { parent->_right = cur; } while (parent) { //修改平衡因子 if (cur == parent->_left) { parent->_bf--; } else { parent->_bf++; } //判断平衡因子 if (parent->_bf == 0) { break; } else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)//之前是0,高度发生变化 { cur = parent; parent = parent->_parent; } else if(parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)//之前是-1 或者 1 { //旋转 //1.从不平衡变平衡 //2.旋转本质也降低了高度，与插入之前高度相同，不对上一层构成影响 if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { RotateL(parent);//左单旋 } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) { RotateR(parent);//右单旋 } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) { RotateRL(parent);//右左双旋 } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { RotateLR(parent);//左右双旋 } //1.旋转让这棵子树平衡了 //2.旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续 break; } else { assert(false); } } return true; }
4. AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
- 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
代码示例：
void RotateL(Node* parent)//左单旋 { Node* subR = parent->_right; Node* subL = subR->_left; parent->_right = subL; subR->_left = parent; Node* parentParent = parent->_parent; parent->_parent = subR; if (subL) { subL->_parent = parent; } if (_root == parent)//根节点 { _root = subR; subR->_parent = nullptr; } else { if (parentParent->_left == parent) { parentParent->_left = subR; } else { parentParent->_right = subR; } subR->_parent = parentParent; } //改平衡因子 parent->_bf = subR->_bf = 0; }
- 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
代码示例：
void RotateR(Node* parent)//右单旋 { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; Node* parentParent = parent->_parent;//根节点可能是空 parent->_left = subLR; subL->_right = parent; parent->_parent = subL; if(subLR) subLR->_parent = parent; if (_root == parent) { _root = subL; subL->_parent = nullptr; } else { if (parentParent->_left == parent) { parentParent->_left = subL; } else { parentParent->_right = subL; } subL->_parent = parentParent; } //改平衡因子 subL->_bf = parent->_bf = 0; }
- 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
代码示例：
void RotateLR(Node* parent)//左右双旋 { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf;//保存一下平衡因子 //先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋 RotateL(subL); RotateR(parent); if (bf == 0)//插入的是60本身 { parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0; } else if (bf == 1)//在60右子树插入 { parent->_bf = subLR->_bf = 0; subL->_bf = -1; } else if (bf == -1)//在60左子树插入 { subL->_bf = subLR->_bf = 0; parent->_bf = 1; } else { assert(false); } }
- 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
代码示例：
void RotateRL(Node* parent)//右左双旋 { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; RotateR(subR); RotateL(parent); if (bf == 0) { //subRL 自己新增 parent->_bf = subRL->_bf = subR->_bf = 0; } else if (bf == -1) { //subRL的左子树新增 parent->_bf = subRL->_bf = 0; subR->_bf = 1; } else if (bf == 1) { //subRL的右子树新增 subRL->_bf = subRL->_bf = 0; parent->_bf = -1; } else { assert(false); } }总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
- pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
- 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
- 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
- pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
- 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
- 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新
5. AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
- 验证其为二叉搜索树
- 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
- 验证其为平衡树
- 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
- 节点的平衡因子是否计算正确
代码示例：
int Height()//树的高度
{
return _Height(_root);
}
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool IsBlance()
{
return _IsBlance(_root);
}
bool _IsBlance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
//if (rightHeight - leftHeight <= 1 && rightHeight - leftHeight >= -1)
return (abs(rightHeight - leftHeight) <= 1)//求绝对值
&&_IsBlance(root->_right)
&& _IsBlance(root->_left);
}
6. AVL树的删除(了解)
因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不过与删除不同的是，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。
7. AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。 下篇文章我们来讲解红黑树！
本篇结束！
