Codeforces Round 919 (Div. 2) A~E

A. Satisfying Constraints(模拟)

题意：

给出 $n$ 个限制条件，问有多少个数字 $k$ 同时满足这些限制条件。

限制条件分为以下三种：

$k$ 必须大于等于给出的一些数字 $x$
$k$ 必须小于等于给出的一些数字 $x$
$k$ 不能与给出的数字 $x$ 相同

分析：

对于限制条件1, 2，可以使用两个变量维护数字 $k$ 的取值区间。

对于限制条件3，可以采用容器(set, map等)存储这些不能取到的数字。

根据限制条件1，2得到的区间，再遍历容器检查区间内有多少数字不能被取到，剩下的数字个数就是答案。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

set<int> s;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    int l = -1e9, r = 1e9;
    s.clear();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int a, x;
        cin >> a >> x;
        if (a == 1) {
            l = max(l, x);
        } else if (a == 2) {
            r = min(r, x);
        } else {
            s.insert(x);
        }
    }
    int ans = r - l + 1;
    for (auto i : s) {
        if (i >= l && i <= r) ans--;
    }
    cout << max(0, ans) << endl;
}

int main() {
    int Case;
    cin >> Case;
    while (Case--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

B. Summation Game(枚举)

题意：

有一个包含 $n$ 个数字的序列 $A = a_1, a_2, ..., a_n$ ，Alice和Bob将会执行以下操作：

首先，Alice将会移除序列中至多 $k$ 个数字。
然后，Bob将会选择剩余的序列中至多 $x$ 个数字并让这些数字乘上 $- 1$ 。

Alice想让剩下的数字之和尽可能大，但Bob想让剩下的数字之和尽可能小，假设两人均采取最优策略，那么剩下的数字之和会是多少？

分析：

实际上，Bob会做的事情是固定的，即选择剩余的数组中最大的 $x$ 个数字进行操作。

既然Bob的操作固定了，那就可以思考Alice的操作了，由于Alice想要结果尽可能大，那么Alice的操作就是删除部分最大的数字，由于不知道删除多少个是最优的，因此需要对删除的数字个数进行枚举，记录最大的结果。

对删除后剩余的数字总和进行计算可以先对数组进行排序，并维护前缀和，使用前缀和来计算结果。

hint: 删除元素后剩余的数字不足 $x$ 个时，计算区间和时需避免出现下标越界。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5 + 5e2;
int a[N], pre[N];

void solve() {
    int n, k, x;
    cin >> n >> k >> x;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a + 1, a + n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        pre[i] = pre[i - 1] + a[i];
    }
    int ans = -1e9;
    for (int i = 0; i <= k; i++) {
        int m = n - i;
        int sum;
        /*小心下标越界*/
        if (m > x) sum = pre[m - x] - (pre[m] - pre[m - x]);
        else sum = -pre[m];
        ans = max(ans, sum);
    }
    cout << ans << endl;
}

int main() {
    int Case;
    cin >> Case;
    while (Case--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

C. Partitioning the Array(数学)

题意：

给出一个包含 $n$ 个数字的数组 $A = a_1, a_2, ..., a_n$ ，你可以选择一个数字 $k$ ，并对数字进行以下操作：

将数组均分为 $\frac{n}{k}$ 个子数组，子数组形如： $a_1, a_2, ..., a_k], [a_{k + 1}, a_{k + 2}, ..., a_{2k}], ..., [a_{n - k + 1}, a_{n - k + 2}, ..., a_n]$
如果可以选择一个数字 $m$ ，让数组中所有元素对 $m$ 取余数，且计算后得到的各个子数组均是相同的，那么就可以获得一点积分。

问：最多可以获得多少积分（一个数字 $k$ 最多产生一点积分）。

分析：

首先思考 $k$ 的选择，不难发现只有 $k$ 为 $n$ 的因子时各个子数组的长度才是相等的，因此只需要考虑 $n$ 的所有因子作为 $k$ 的选择。

当只有两个数字 $x, y$ 时，那么只要这两个数之间差的绝对值取模 $m$ 的结果为0，那么这两个数字对于 $m$ 取模的结果必然是相同的。

将结论推广至全部数组中的内容，为了尽可能使得到的 $m$ 更大，令 $m$ 即为所有子数组中对位元素的差的绝对值之间的最大公约数。

为了便于计算，每次计算只考虑相邻子数组中的元素进行对位计算，即计算：

$m = gcd(|a_1 - a_{1 + k}|, |a_2 - a_{2 + k}|, ..., |a_{n - k + 1} - a_n|)$

由于题目要求的 $\ge 2$ ，那么只要得到的结果不为1，那么就表示当前存在合法的 $m$ 能获得积分。

Tips: 当数组中对位元素之差均为0时，即各子数组中相同位置的元素均相等，此时得到的最大公约数为 $0$ ，但此时任选一个 $m$ 均为合法的解，因此也可以获得积分。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5 + 5e2;
int a[N];

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    int ans = 0;
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        if (n % k == 0) {
            int m = 0;
            for (int j = 1; j + k <= n; j++) {
                m = __gcd(m, abs(a[j + k] - a[j]));
            }
            if (m != 1) ans++;//m>=2 || m == 0
        }
    }
    cout << ans << endl;
}

int main() {
    int Case;
    cin >> Case;
    while (Case--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

D.Array Repetition(模拟)

题意：

开始时有一个空的数组 $a$ ，将对这个数组进行 $n$ 次操作，每次操作为以下两种操作之一：

选择一个数字 $x$ ，将这个数字添加到数组 $a$ 的末尾。
将数组 $a$ 的内容复制 $x$ 遍放在数组 $a$ 的后面。

结束操作后，会给出 $q$ 个询问，每个询问需要你回答数组中第 $k$ 个元素是多少。

分析：

虽然操作 $2$ 会使数组中数字总数增加的非常快，但是由于题目的询问最多只会到 $10^{18}$ ，因此，当数组中总数超过 $10^{18}$ 时，就不需要再进行操作了。

可以使用结构体记录下每次操作后数组中的数字总数 $s u m$ 以及操作 $1$ 添加进来的数字个数 $c n t$ 。如果是操作 $2$ ，还需要记录下操作 $2$ 的复制次数 $m u l$ 。

对于操作 $1$ ，还需将添加的数字记录到另一个数组 $a$ 中。

然后对于每次查询，均可通过递归的方式从记录的操作信息回推到某一条操作 $1$ 对应的数字：

如果当前查询的第 $k$ 个元素与当前结构体记录的总数字个数 $s u m$ 相等，那么此时的答案就是数组 $a$ 中第 $c n t$ 个数字。
如果不相等，说明需将本轮的复制操作消除，继续递归查找，将复制消除后，需将 $k$ 也修改为 $\text{ } mod \text{ } \frac{sum}{mul}$ ，而且需要注意，如果余数为 $0$ ，需要将 $k$ 修改为 $\frac{sum}{mul}$ ，计算得到 $k$ 后继续递归查询。

对于每次递归查询，遇到操作 $1$ 就会返回结果，遇到操作 $2$ 就会移除复制操作后递归查询，查询时间复杂度为对数级别。

坑点：

虽然我们手动设置数字上限为 $10^{18}$ ，但如果使用long long类型存储，依然不能保证运算中不会发生溢出，因此需要使用__int128来进行存储。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5 + 5e2;
struct Node{
    __int128 sum;//数字总数
    int cnt, mul;//操作1的次数，mul为如果当前操作为操作2，那么记录复制的次数
    bool operator < (const Node &o) const {
        if (sum != o.sum) return sum < o.sum;
        return cnt < o.cnt;
    }
};

int n, q;

vector<int> a;//数字表
vector<Node> num;//信息表

int search(ll k) {查询第k个数字
    //在信息表里查
    int id = lower_bound(num.begin(), num.end(), Node{k, 0}) - num.begin();
    //当前查询的k与信息表的数字总数相等，那么此时就是对应信息表中记录的最后一次操作1插入的数字
    if (num[id].sum == k) {
        return a[num[id].cnt - 1];
    }
    k %= num[id].sum / num[id].mul;//否则计算在当前的操作2前第k个数字对应的数字是第几个
    if (k == 0) k = num[id].sum / num[id].mul;
    return search(k);//递归查询
}

void solve() {
    a.clear();
    num.clear();
    cin >> n >> q;
    __int128 sum = 0;
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ll b, x;
        cin >> b >> x;
        int mul = 0;
        if (sum <= 1e18) {//只有数字总数小于等于10的18次方才记录操作信息
            if (b == 1) {
                cnt++;
                sum++;
                a.push_back(x);
            } else {
                mul = x + 1;
                sum *= mul;//如果是long long类型，这里就可以发生溢出
            }
            num.push_back(Node{sum, cnt, mul});
        }
    }
    while (q--) {
        ll k;
        cin >> k;
        cout << search(k) << ' ';
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    int Case;
    cin >> Case;
    while (Case--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

E. Counting Binary Strings（排列组合、dp）

题意：

对于一个只含有 $0$ 和 $1$ 的字符串 $s$ ，如果它的子串 $\hat{s}$ 只含有 $1$ 个 $1$ ，我们就称他为好子串。

现在我们希望知道，有多少个字符串 $s$ 满足以下要求：

$s$ 有且仅有 $n$ 个好子串；
$s$ 的好子串的长度均不超过 $k$ 。

答案可能很大，需要对 $998244353$ 取模。另外，在考虑子串时，我们需要考虑位置。比如说，1010中，我们认为有 $2$ 个子串 $10$ ，因为他们的位置是不同的。

思路

对于由若干个 $1$ 和 $0$ 组成的字符串 $s$ ，我们可以认为：每一个 $1$ 都可以和它之前、之后的 $0$ 进行组合，形成好字符串。比如：0010，对于这个 $1$ ，它可以分别向前、向后与若干个 $0$ 进行组合（当然也可以不向前选择、或者不想后选择）。在这个例子中，若我们不考虑 $k$ 的限制，含有中间的 $1$ 的子串有 $3\times2=6$ 个。类似的，00100010中含有 $3\times4+4\times2=20$ 个好子串。在这个过程中，我们重点关注的是1左右两边 $0$ 的个数（此处在计算过程中我们进行了 $+ 1$ 操作）。

对于一个给定的字符串 $s$ ，我们可以把这些 $0$ 的个数 $+ 1$ 以后的结果记作数组 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 的内容，则 $s$ 中好子串的个数为 $a_1a_2+a_2a_3+\dots+a_{n-1}a_n$ 。此时若我们多加入一个 $a_{n+1}$ ，就是在原来结果的基础上加上 $a_na_{n+1}$ 。换言之，假设我们用 $d p [s u m]$ 数组中的元素来表示好子串个数为 $s u m$ 的子串数，即 $sum=\sum_{i=1}^{n+1}a_n$ ，那么我们可以发现： $d p [s u m]$ 与 $dp[sum-a_n\cdot a_{n-1}]$ 有关。

但是，并不是只有 $a_n$ 结尾的方案才能得到和为 $s u m$ 的结果，我们需要给 $d p$ 数组加上一个维度作为限制。此处，我们以 $d p [s u m] [l a s t]$ 表示：和为 $s u m$ ，最后一个元素（即我们前面讨论的 $a_{n+1}$ ）为 $l a s t$ 的方案数，那么我们有：

$\begin{aligned} dp[sum][last]=\sum_{i}dp[sum-i\cdot last][i] \end{aligned}$

其中， $i$ 的枚举范围要考虑到：

$i\cdot last\le sum$ ，避免出现负数下标；
$i+last-1\le k$ ，这一举动是为了保证加入以后，长度不超过 $k$ ；
- 如果你不理解为什么要 $- 1$ ，请你回想：我们在上面的计算过程中进行了 $+ 1$ 操作，当你要对 $a$ 数组加入元素 $l a s t$ 时，实际上你是多加了好几个 $0$ ， $i$ 与 $l a s t$ 的数值如果代表长度，会包含同一个 $1$ ，计算长度时，我们要避免重复计算这个 $1$ 的长度，所以根据容斥原理进行 $- 1$ 操作。

初始化 $d p$ 数组时，可以令满足 $1\le last\le k$ 的 $d p [0] [l a s t]$ 均为 $1$ ，即对应全 $0$ 字符串。

hint: 清空 $d p$ 数组需要使用循环来清空避免超时。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
int n, k, dp[3000][3000];
const int mod = 998244353;

void solve() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= k; j++) dp[i][j] = 0;
    int ans = 0;
    //对全0字符串进行初始化操作
    for (int last = 1; last <= k; last++) {
        dp[0][last] = 1;
    }
    //根据dp方程进行计算，注意i的范围，不要忘记取模
    for (int sum = 1; sum <= n; sum++) {
        for (int last = 1; last <= k; last++) {
            for (int i = 1; i * last <= sum && i + last - 1 <= k; i++) {
                dp[sum][last] = (dp[sum][last] + dp[sum - i * last][i]) % mod;
            }
        }
    }
    //统计满足要求的好子串个数，不要忘记取模
    for (int last = 1; last <= k; last++) {
        ans = (ans + dp[n][last]) % mod;
    }
    cout << ans << endl;
}

int main() {
    int Case;
    cin >> Case;
    while (Case--) {
        solve();
    }
    return 0;
}