随机过程——卡尔曼滤波学习笔记

随机过程——卡尔曼滤波学习笔记

news2024/9/28 19:18:16

一、均方预测和随机序列分解

考虑随机序列 $X(k),X(k-1),X(k-2),\cdots, X(2),X(1),X(0)$

使用 $X(k-1),X(k-2),\cdots,X(2),X(1),X(0)$ 预测 $X(k)$

定义 $X_{MS}(k) = E[X(k)|X(k-1),X(k-2),\cdots ,X(0)]$

称为 $X(k)$ 的均方可预测部分。

若 $X(k),X(k-1),\cdots ,X(1),X(0)$ 相互独立，则 $X(k)$ 是均方不可预测的。

$X_{MS}(k) = E[X(k)|X(k-1),X(k-2),\cdots ,X(0)] = E[X(k)]$

定义随机序列 $X(k)$ 的新息序列 $V(k)=X(k)-X_{MS}(k)$

V(k)基于样本观测的条件均值为0，即均方不可预测。

V(k)与 $X_{MS}(k)$ 是正交的，即 $E[V(k)X_{MS}(k)] = 0$ 。

二、卡尔曼滤波

输入观测量 $z(n)$ ，对 $x(n)$ 进行估计得到 $\hat{x}(n)$

1. 系统模型

状态方程

$x(n)=F(n,n-1)x(n-1)+v_1(n-1)$

观测方程

$z(n)=C(n)x(n)+v_2(n)$

其中，

$x(n)$ ：状态向量， $N \times 1$

$z(n)$ ：观测向量， $M \times 1$

$v_1(n)$ ：状态噪声， $N \times 1$ ，高斯白噪声

$v_2(n)$ ：观测噪声， $M \times 1$ ，高斯白噪声

$F(n, n-1)$ ：状态转移矩阵， $N \times N$

$C(n)$ ：观测矩阵， $M \times N$

相关性质：

（1）乘积率： $F(n+1, n-1) = F(n+1, n)F(n, n-1)$

（2）状态噪声自相关矩阵： $E\left[ v_1(n) v_1^H(n) \right ] = Q_1(n) \delta(n-k)$

（3）观测噪声自相关矩阵： $E\left[ v_2(n) v_2^H(n) \right ] = Q_2(n) \delta(n-k)$

（4）噪声独立性： $E\left[ v_1(n) v_2^H(n) \right ] = 0$

2. 新息过程

定义MMSE下的预测误差 $e(n)$ 为新息过程，记作 $a(n)$

$a(n) = z(n) - \hat{d}(n) = z(n) - W^Hz_{n-1}$

$\hat{d}(n)$ 记作 $\hat{z}\left( n | Z_{n-1} \right )$ 是用前n-1个观测值对z(n)进行MMSE估计。

其中，

观测向量： $z_{n-1} = \left[ z(1), z(2), z(3), \cdots , z(n-1) \right ]^T$

权向量： $W = \left[ w_1, w_2, \cdots, w_{n-1} \right ]^{T}$

性质

（1）当前新息与以前各观测量正交

$E\left[ a(n) z^{*}(n) \right ] = 0, k=0,1,2,\cdots,n-1$

（2）当前新息与以前各新息正交

$E\left[ a(n) a^{*}(n) \right ] = 0, k=0,1,2,\cdots,n-1$

（3）新息与观测量等价

3. 用观测量估计（MMSE估计）状态变量

$\hat{x}(n|Z_n) = W^{H} z_n = W^HL_{n}^{-1}a_n = b^{H}a_n$

其中，

$a_n = a(n) = \left[ a(1), a(2), \cdots, a(n) \right ]^T$

$b(n) = \left[ b(1), b(2), \cdots, b(n) \right ]^T$

$A(n) = E\left[ a_n a_n^{H} \right ]$

$p_a(n) = E\left[ a_n x^{*}(n) \right ]$

递推形式：

$\hat{x}(n|Z_n) = b^{H} a_n = \sum_{i=1}^{n} b^{*}(i)a(i) = \hat{x}(n|Z_{n-1}) + b^{*}(n)a(n)$

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