106.从中序与后序遍历序列构造二叉树
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根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树。
注意: 你可以假设树中没有重复的元素。
例如，给出
- 中序遍历 inorder = [9,3,15,20,7]
- 后序遍历 postorder = [9,15,7,20,3] 返回如下的二叉树：
思路
首先回忆一下如何根据两个顺序构造一个唯一的二叉树，相信理论知识大家应该都清楚，就是以 后序数组的最后一个元素为切割点，先切中序数组，根据中序数组，反过来再切后序数组。一层一层切下去，每次后序数组最后一个元素就是节点元素。
如果让我们肉眼看两个序列，画一棵二叉树的话，应该分分钟都可以画出来。
流程如图：
那么代码应该怎么写呢？
说到一层一层切割，就应该想到了递归。
来看一下一共分几步：
-
第一步：如果数组大小为零的话，说明是空节点了。
-
第二步：如果不为空，那么取后序数组最后一个元素作为节点元素。
-
第三步：找到后序数组最后一个元素在中序数组的位置，作为切割点
-
第四步：切割中序数组，切成中序左数组和中序右数组 （顺序别搞反了，一定是先切中序数组）
-
第五步：切割后序数组，切成后序左数组和后序右数组
-
第六步：递归处理左区间和右区间
不难写出如下代码：（先把框架写出来）
TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {
// 第一步
if (postorder.size() == 0) return NULL;
// 第二步：后序遍历数组最后一个元素，就是当前的中间节点
int rootValue = postorder[postorder.size() - 1];
TreeNode* root = new TreeNode(rootValue);
// 叶子节点
if (postorder.size() == 1) return root;
// 第三步：找切割点
int delimiterIndex;
for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) {
if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;
}
// 第四步：切割中序数组，得到 中序左数组和中序右数组
// 第五步：切割后序数组，得到 后序左数组和后序右数组
// 第六步
root->left = traversal(中序左数组, 后序左数组);
root->right = traversal(中序右数组, 后序右数组);
return root;
}
难点大家应该发现了，就是如何切割，以及边界值找不好很容易乱套。
此时应该注意确定切割的标准，是左闭右开，还有左开右闭，还是左闭右闭，这个就是不变量，要在递归中保持这个不变量。
在切割的过程中会产生四个区间，把握不好不变量的话，一会左闭右开，一会左闭右闭，必然乱套！
我在数组：每次遇到二分法，都是一看就会，一写就废 (opens new window)和数组：这个循环可以转懵很多人！ (opens new window)中都强调过循环不变量的重要性，在二分查找以及螺旋矩阵的求解中，坚持循环不变量非常重要，本题也是。
首先要切割中序数组，为什么先切割中序数组呢？
切割点在后序数组的最后一个元素，就是用这个元素来切割中序数组的，所以必要先切割中序数组。
中序数组相对比较好切，找到切割点（后序数组的最后一个元素）在中序数组的位置，然后切割，如下代码中我坚持左闭右开的原则：
// 找到中序遍历的切割点
int delimiterIndex;
for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) {
if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;
}
// 左闭右开区间：[0, delimiterIndex)
vector<int> leftInorder(inorder.begin(), inorder.begin() + delimiterIndex);
// [delimiterIndex + 1, end)
vector<int> rightInorder(inorder.begin() + delimiterIndex + 1, inorder.end() );
接下来就要切割后序数组了。
首先后序数组的最后一个元素指定不能要了，这是切割点 也是 当前二叉树中间节点的元素，已经用了。
后序数组的切割点怎么找？
后序数组没有明确的切割元素来进行左右切割，不像中序数组有明确的切割点，切割点左右分开就可以了。
此时有一个很重的点，就是中序数组大小一定是和后序数组的大小相同的（这是必然）。
中序数组我们都切成了左中序数组和右中序数组了，那么后序数组就可以按照左中序数组的大小来切割，切成左后序数组和右后序数组。
代码如下：
// postorder 舍弃末尾元素，因为这个元素就是中间节点，已经用过了
postorder.resize(postorder.size() - 1);
// 左闭右开，注意这里使用了左中序数组大小作为切割点：[0, leftInorder.size)
vector<int> leftPostorder(postorder.begin(), postorder.begin() + leftInorder.size());
// [leftInorder.size(), end)
vector<int> rightPostorder(postorder.begin() + leftInorder.size(), postorder.end());
此时，中序数组切成了左中序数组和右中序数组，后序数组切割成左后序数组和右后序数组。
接下来可以递归了，代码如下：
root->left = traversal(leftInorder, leftPostorder);
root->right = traversal(rightInorder, rightPostorder);
完整代码如下：
class Solution {
private:
TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {
if (postorder.size() == 0) return NULL;
// 后序遍历数组最后一个元素，就是当前的中间节点
int rootValue = postorder[postorder.size() - 1];
TreeNode* root = new TreeNode(rootValue);
// 叶子节点
if (postorder.size() == 1) return root;
// 找到中序遍历的切割点
int delimiterIndex;
for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) {
if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;
}
// 切割中序数组
// 左闭右开区间：[0, delimiterIndex)
vector<int> leftInorder(inorder.begin(), inorder.begin() + delimiterIndex);
// [delimiterIndex + 1, end)
vector<int> rightInorder(inorder.begin() + delimiterIndex + 1, inorder.end() );
// postorder 舍弃末尾元素
postorder.resize(postorder.size() - 1);
// 切割后序数组
// 依然左闭右开，注意这里使用了左中序数组大小作为切割点
// [0, leftInorder.size)
vector<int> leftPostorder(postorder.begin(), postorder.begin() + leftInorder.size());
// [leftInorder.size(), end)
vector<int> rightPostorder(postorder.begin() + leftInorder.size(), postorder.end());
root->left = traversal(leftInorder, leftPostorder);
root->right = traversal(rightInorder, rightPostorder);
return root;
}
public:
TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {
if (inorder.size() == 0 || postorder.size() == 0) return NULL;
return traversal(inorder, postorder);
}
};
相信大家自己就算是思路清晰， 代码写出来一定是各种问题，所以一定要加日志来调试，看看是不是按照自己思路来切割的，不要大脑模拟，那样越想越糊涂。
加了日志的代码如下：（加了日志的代码不要在leetcode上提交，容易超时）
class Solution {
private:
TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {
if (postorder.size() == 0) return NULL;
int rootValue = postorder[postorder.size() - 1];
TreeNode* root = new TreeNode(rootValue);
if (postorder.size() == 1) return root;
int delimiterIndex;
for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) {
if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;
}
vector<int> leftInorder(inorder.begin(), inorder.begin() + delimiterIndex);
vector<int> rightInorder(inorder.begin() + delimiterIndex + 1, inorder.end() );
postorder.resize(postorder.size() - 1);
vector<int> leftPostorder(postorder.begin(), postorder.begin() + leftInorder.size());
vector<int> rightPostorder(postorder.begin() + leftInorder.size(), postorder.end());
// 以下为日志
cout << "----------" << endl;
cout << "leftInorder :";
for (int i : leftInorder) {
cout << i << " ";
}
cout << endl;
cout << "rightInorder :";
for (int i : rightInorder) {
cout << i << " ";
}
cout << endl;
cout << "leftPostorder :";
for (int i : leftPostorder) {
cout << i << " ";
}
cout << endl;
cout << "rightPostorder :";
for (int i : rightPostorder) {
cout << i << " ";
}
cout << endl;
root->left = traversal(leftInorder, leftPostorder);
root->right = traversal(rightInorder, rightPostorder);
return root;
}
public:
TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {
if (inorder.size() == 0 || postorder.size() == 0) return NULL;
return traversal(inorder, postorder);
}
};
此时应该发现了，如上的代码性能并不好，因为每层递归定义了新的vector（就是数组），既耗时又耗空间，但上面的代码是最好理解的，为了方便读者理解，所以用如上的代码来讲解。
下面给出用下标索引写出的代码版本：（思路是一样的，只不过不用重复定义vector了，每次用下标索引来分割）
class Solution {
private:
// 中序区间：[inorderBegin, inorderEnd)，后序区间[postorderBegin, postorderEnd)
TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, int inorderBegin, int inorderEnd, vector<int>& postorder, int postorderBegin, int postorderEnd) {
if (postorderBegin == postorderEnd) return NULL;
int rootValue = postorder[postorderEnd - 1];
TreeNode* root = new TreeNode(rootValue);
if (postorderEnd - postorderBegin == 1) return root;
int delimiterIndex;
for (delimiterIndex = inorderBegin; delimiterIndex < inorderEnd; delimiterIndex++) {
if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;
}
// 切割中序数组
// 左中序区间，左闭右开[leftInorderBegin, leftInorderEnd)
int leftInorderBegin = inorderBegin;
int leftInorderEnd = delimiterIndex;
// 右中序区间，左闭右开[rightInorderBegin, rightInorderEnd)
int rightInorderBegin = delimiterIndex + 1;
int rightInorderEnd = inorderEnd;
// 切割后序数组
// 左后序区间，左闭右开[leftPostorderBegin, leftPostorderEnd)
int leftPostorderBegin = postorderBegin;
int leftPostorderEnd = postorderBegin + delimiterIndex - inorderBegin; // 终止位置是 需要加上 中序区间的大小size
// 右后序区间，左闭右开[rightPostorderBegin, rightPostorderEnd)
int rightPostorderBegin = postorderBegin + (delimiterIndex - inorderBegin);
int rightPostorderEnd = postorderEnd - 1; // 排除最后一个元素，已经作为节点了
root->left = traversal(inorder, leftInorderBegin, leftInorderEnd, postorder, leftPostorderBegin, leftPostorderEnd);
root->right = traversal(inorder, rightInorderBegin, rightInorderEnd, postorder, rightPostorderBegin, rightPostorderEnd);
return root;
}
public:
TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {
if (inorder.size() == 0 || postorder.size() == 0) return NULL;
// 左闭右开的原则
return traversal(inorder, 0, inorder.size(), postorder, 0, postorder.size());
}
};
那么这个版本写出来依然要打日志进行调试，打日志的版本如下：（该版本不要在leetcode上提交，容易超时）
class Solution {
private:
TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, int inorderBegin, int inorderEnd, vector<int>& postorder, int postorderBegin, int postorderEnd) {
if (postorderBegin == postorderEnd) return NULL;
int rootValue = postorder[postorderEnd - 1];
TreeNode* root = new TreeNode(rootValue);
if (postorderEnd - postorderBegin == 1) return root;
int delimiterIndex;
for (delimiterIndex = inorderBegin; delimiterIndex < inorderEnd; delimiterIndex++) {
if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;
}
// 切割中序数组
// 左中序区间，左闭右开[leftInorderBegin, leftInorderEnd)
int leftInorderBegin = inorderBegin;
int leftInorderEnd = delimiterIndex;
// 右中序区间，左闭右开[rightInorderBegin, rightInorderEnd)
int rightInorderBegin = delimiterIndex + 1;
int rightInorderEnd = inorderEnd;
// 切割后序数组
// 左后序区间，左闭右开[leftPostorderBegin, leftPostorderEnd)
int leftPostorderBegin = postorderBegin;
int leftPostorderEnd = postorderBegin + delimiterIndex - inorderBegin; // 终止位置是 需要加上 中序区间的大小size
// 右后序区间，左闭右开[rightPostorderBegin, rightPostorderEnd)
int rightPostorderBegin = postorderBegin + (delimiterIndex - inorderBegin);
int rightPostorderEnd = postorderEnd - 1; // 排除最后一个元素，已经作为节点了
cout << "----------" << endl;
cout << "leftInorder :";
for (int i = leftInorderBegin; i < leftInorderEnd; i++) {
cout << inorder[i] << " ";
}
cout << endl;
cout << "rightInorder :";
for (int i = rightInorderBegin; i < rightInorderEnd; i++) {
cout << inorder[i] << " ";
}
cout << endl;
cout << "leftpostorder :";
for (int i = leftPostorderBegin; i < leftPostorderEnd; i++) {
cout << postorder[i] << " ";
}
cout << endl;
cout << "rightpostorder :";
for (int i = rightPostorderBegin; i < rightPostorderEnd; i++) {
cout << postorder[i] << " ";
}
cout << endl;
root->left = traversal(inorder, leftInorderBegin, leftInorderEnd, postorder, leftPostorderBegin, leftPostorderEnd);
root->right = traversal(inorder, rightInorderBegin, rightInorderEnd, postorder, rightPostorderBegin, rightPostorderEnd);
return root;
}
public:
TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {
if (inorder.size() == 0 || postorder.size() == 0) return NULL;
return traversal(inorder, 0, inorder.size(), postorder, 0, postorder.size());
}
};给定两个整数数组 preorder 和 inorder ，其中 preorder 是二叉树的先序遍历， inorder 是同一棵树的中序遍历，请构造二叉树并返回其根节点。
示例 1:
输入: preorder = [3,9,20,15,7], inorder = [9,3,15,20,7] 输出: [3,9,20,null,null,15,7]
示例 2:
输入: preorder = [-1], inorder = [-1] 输出: [-1]
思路
本题和106是一样的道理。
我就直接给出代码了。
带日志的版本C++代码如下： （带日志的版本仅用于调试，不要在leetcode上提交，会超时）
class Solution {
private:
TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, int inorderBegin, int inorderEnd, vector<int>& preorder, int preorderBegin, int preorderEnd) {
if (preorderBegin == preorderEnd) return NULL;
int rootValue = preorder[preorderBegin]; // 注意用preorderBegin 不要用0
TreeNode* root = new TreeNode(rootValue);
if (preorderEnd - preorderBegin == 1) return root;
int delimiterIndex;
for (delimiterIndex = inorderBegin; delimiterIndex < inorderEnd; delimiterIndex++) {
if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;
}
// 切割中序数组
// 中序左区间，左闭右开[leftInorderBegin, leftInorderEnd)
int leftInorderBegin = inorderBegin;
int leftInorderEnd = delimiterIndex;
// 中序右区间，左闭右开[rightInorderBegin, rightInorderEnd)
int rightInorderBegin = delimiterIndex + 1;
int rightInorderEnd = inorderEnd;
// 切割前序数组
// 前序左区间，左闭右开[leftPreorderBegin, leftPreorderEnd)
int leftPreorderBegin = preorderBegin + 1;
int leftPreorderEnd = preorderBegin + 1 + delimiterIndex - inorderBegin; // 终止位置是起始位置加上中序左区间的大小size
// 前序右区间, 左闭右开[rightPreorderBegin, rightPreorderEnd)
int rightPreorderBegin = preorderBegin + 1 + (delimiterIndex - inorderBegin);
int rightPreorderEnd = preorderEnd;
cout << "----------" << endl;
cout << "leftInorder :";
for (int i = leftInorderBegin; i < leftInorderEnd; i++) {
cout << inorder[i] << " ";
}
cout << endl;
cout << "rightInorder :";
for (int i = rightInorderBegin; i < rightInorderEnd; i++) {
cout << inorder[i] << " ";
}
cout << endl;
cout << "leftPreorder :";
for (int i = leftPreorderBegin; i < leftPreorderEnd; i++) {
cout << preorder[i] << " ";
}
cout << endl;
cout << "rightPreorder :";
for (int i = rightPreorderBegin; i < rightPreorderEnd; i++) {
cout << preorder[i] << " ";
}
cout << endl;
root->left = traversal(inorder, leftInorderBegin, leftInorderEnd, preorder, leftPreorderBegin, leftPreorderEnd);
root->right = traversal(inorder, rightInorderBegin, rightInorderEnd, preorder, rightPreorderBegin, rightPreorderEnd);
return root;
}
public:
TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder) {
if (inorder.size() == 0 || preorder.size() == 0) return NULL;
return traversal(inorder, 0, inorder.size(), preorder, 0, preorder.size());
}
};
105.从前序与中序遍历序列构造二叉树，最后版本，C++代码：
class Solution {
private:
TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, int inorderBegin, int inorderEnd, vector<int>& preorder, int preorderBegin, int preorderEnd) {
if (preorderBegin == preorderEnd) return NULL;
int rootValue = preorder[preorderBegin]; // 注意用preorderBegin 不要用0
TreeNode* root = new TreeNode(rootValue);
if (preorderEnd - preorderBegin == 1) return root;
int delimiterIndex;
for (delimiterIndex = inorderBegin; delimiterIndex < inorderEnd; delimiterIndex++) {
if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;
}
// 切割中序数组
// 中序左区间，左闭右开[leftInorderBegin, leftInorderEnd)
int leftInorderBegin = inorderBegin;
int leftInorderEnd = delimiterIndex;
// 中序右区间，左闭右开[rightInorderBegin, rightInorderEnd)
int rightInorderBegin = delimiterIndex + 1;
int rightInorderEnd = inorderEnd;
// 切割前序数组
// 前序左区间，左闭右开[leftPreorderBegin, leftPreorderEnd)
int leftPreorderBegin = preorderBegin + 1;
int leftPreorderEnd = preorderBegin + 1 + delimiterIndex - inorderBegin; // 终止位置是起始位置加上中序左区间的大小size
// 前序右区间, 左闭右开[rightPreorderBegin, rightPreorderEnd)
int rightPreorderBegin = preorderBegin + 1 + (delimiterIndex - inorderBegin);
int rightPreorderEnd = preorderEnd;
root->left = traversal(inorder, leftInorderBegin, leftInorderEnd, preorder, leftPreorderBegin, leftPreorderEnd);
root->right = traversal(inorder, rightInorderBegin, rightInorderEnd, preorder, rightPreorderBegin, rightPreorderEnd);
return root;
}
public:
TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder) {
if (inorder.size() == 0 || preorder.size() == 0) return NULL;
// 参数坚持左闭右开的原则
return traversal(inorder, 0, inorder.size(), preorder, 0, preorder.size());
}
};
#思考题
前序和中序可以唯一确定一棵二叉树。
后序和中序可以唯一确定一棵二叉树。
那么前序和后序可不可以唯一确定一棵二叉树呢？
前序和后序不能唯一确定一棵二叉树！，因为没有中序遍历无法确定左右部分，也就是无法分割。
举一个例子：
tree1 的前序遍历是[1 2 3]， 后序遍历是[3 2 1]。
tree2 的前序遍历是[1 2 3]， 后序遍历是[3 2 1]。
那么tree1 和 tree2 的前序和后序完全相同，这是一棵树么，很明显是两棵树！
所以前序和后序不能唯一确定一棵二叉树！
#总结
之前我们讲的二叉树题目都是各种遍历二叉树，这次开始构造二叉树了，思路其实比较简单，但是真正代码实现出来并不容易。
所以要避免眼高手低，踏实地把代码写出来。
我同时给出了添加日志的代码版本，因为这种题目是不太容易写出来调一调就能过的，所以一定要把流程日志打出来，看看符不符合自己的思路。
大家遇到这种题目的时候，也要学会打日志来调试（如何打日志有时候也是个技术活），不要脑动模拟，脑动模拟很容易越想越乱。
最后我还给出了为什么前序和中序可以唯一确定一棵二叉树，后序和中序可以唯一确定一棵二叉树，而前序和后序却不行。
认真研究完本篇，相信大家对二叉树的构造会清晰很多。
