波动，热传导，扩散方程建立

news2024/11/17 9:43:57

数学物理方程是从自然科学的各个领域和工程技术领域中导出的偏微分方程和积分方程.在这些以偏微分方程为基础的数学模型中，二阶线性偏微分方程中的三个典型方程与定解条件的建立、解法及其应用．描述振动和波动过程的波动方程、描述输运过程的热传导（扩散方程)、描述稳定场的 Poisson方程(Laplace方程)，是本文的中心内容.这些方程给出了一类物理现象的变化规律，常称为泛定方程.然而，要完整地描述一个物理过程，还要知道这个过程发生的具体条件.例如，初始时刻的条件和边界上的约束条件等，这些特殊的条件称为定解条件.泛定方程加上的定解条件,就构成了一个定解问题。

下面，通过弦的微振动、弹性细杆的纵向振动及高频传输这三个不同物理问题，推导数学物理方程中三种典型方程之一的波动方程及定解条件.

1波动方程

在1747年，d'Alembert对弦的振动问题展开了研究，并开创了偏微分方程的研究．该问题对研究波动方程及建立波动方程的定解条件是最有启发性的例子.
例1细弦线横向微振动问题.
设有一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，另一端沿x轴拉紧固定在x轴上的L处.细弦线受到扰动，开始沿x轴(平衡位置)上下作微小横向微振动(细弦线上各点运动方向垂直于x轴）﹒试建立细弦线上任意点位移函数u(x,t)所满足的规律.

高频传输线方程（电报方程).

解:当频率很高时,高频传输线上的电流和电压不仅是时间的函数而且是位置的函数.考虑两条平行的传输线（沿x方向)，可以将一些物理量合并到一根线上.取[x, x +dx]段进行分析，如图2.3所示.

二、定解条件
在以上的讨论中，不同的物理背景得到相同的偏微分方程.该偏微分方程描述了一类问题的规律，常常称为泛定方程.然而，在具体问题中包含了许多细节和约束，仅仅泛定方程不足以描述具体问题.这些细节和约束经常转化为定解条件.定解条件分为两种:

(1)边界条件，是对边界约束条件的描述;

(2）初始条件，描述所研究系统的初始状态（一般是t=0时的系统状态） .
描述物理问题在边界上受约束的状态，归结为三类边界条件.
(1）第一类边界条件:给出未知函数u在边界上的分布值.例如，长为L的细弦线横振动，细弦线的两端固定在原点和x轴的L处，其边界条件为 $\left.u\right|_{x=0}=0,\left.u\right|_{x=L}=0$ ，称固定端.
(2）第二类边界条件:给出未知函数u在边界上的法向导数值.
(3）第三类边界条件:第一类和第二类边界条件的组合形式.
波动方程含有对时间的二阶偏导数.因此,一般要给出两个初始条件.对于做机械运动的物体，其初始条件可以从系统各点的初位移和初速度考虑，即