刷题的第二十九天，希望自己能够不断坚持下去，迎来蜕变。😀😀😀
刷题语言：C++
Day29 任务
● 01背包问题，你该了解这些！
● 01背包问题，你该了解这些！ 滚动数组
● 416. 分割等和子集

1 动态规划：01背包问题，你该了解这些！

背包问题的理论基础重中之重是01背包

1.1 01 背包

01 背包：有n件物品和一个最多能背重量为w的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i]。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

二维dp数组01背包
（1）确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

（2）确定递推公式

1.不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
2.放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

（3）dp数组如何初始化

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

状态转移方程是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化
dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品

for (int j = 0; j < weight[0]; j++) {
	dp[0][j] = 0;
}
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
	dp[0][j] = value[0];
}

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化，其他下标的初始化什么数值都可以，因为都会被覆盖。

vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
	dp[0][j] = value[0];
}

（4）遍历顺序

先遍历物品，然后遍历背包重量

for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {
	for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {
		if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
		else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
	}
}

先遍历背包，再遍历物品

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

（5）举例推导dp数组

C++：

void test_2_wei_bag_problem1() {
	vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;
    // 二维数组
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    	dp[0][j] = value[0];
    }
    for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {
    	for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {
    		if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
    		else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    	}
    }
    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;    
}
int main() {
	test_2_wei_bag_problem1();
}

2 动态规划：01背包理论基础（滚动数组）

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

一维dp数组：上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
（1）确定dp数组的定义
dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]
（2）一维dp数组的递推公式

dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

（3）一维dp数组如何初始化
假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0
（4）一维dp数组遍历顺序

for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {// 遍历物品
	for (int j = bagweight; j >= weight[i]; j--) {// 遍历背包容量
		dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
	}
}

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！ 如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

为什么二维dp数组遍历的时候不用倒序呢？
因为对于二维dp，dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！

（5）举例推导dp数组

C++：

void test_1_wei_bag_problem() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_1_wei_bag_problem();
}

3 分割等和子集

416. 分割等和子集

思路：
背包问题，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

本题使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。
把01背包问题套到本题：
（1）背包的体积为sum / 2
（2）背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
（3）背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
（4）背包中每一个元素是不可重复放入。

动态规划
（1）确定dp数组以及下标的含义
01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]
本题：dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]
（2）确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

（3）dp数组如何初始化

dp[0]一定是0。
如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了

（4）确定遍历顺序

for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
	for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {// 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
		dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
	}
}

（5）举例推导dp数组
dp[j]的数值一定是小于等于j的,如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j

C++：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = 0;
        vector<int> dp(10001, 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
        }
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;
        // 开始 01背包
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }

        // 集合中的元素正好可以凑成总和target
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};

时间复杂度：$O(n^2)$
空间复杂度：$O(n)$，虽然dp数组大小为一个常数，但是大常数

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鼓励坚持三十天的自己😀😀😀