个人主页：元清加油_【C++】,【C语言】,【数据结构与算法】-CSDN博客
个人专栏
力扣递归算法题
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【C++】
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数据结构与算法
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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的
我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析
2、算法原理思路讲解
3、代码实现
不同路径
题目链接：不同路径
题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7 输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2 输出：3 解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3 输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3 输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100- 题目数据保证答案小于等于
2 * 109
解法
题目解析
- 一个机器人位于一个
m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。 - 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角。
- 总共有多少条不同的路径。
示例 2：
输入：m = 3, n = 2 输出：3 解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向下
算法原理讲解
我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤
- 状态显示
- 状态转移方程
- 初始化（防止填表时不越界）
- 填表顺序
- 返回值
- 状态显示
dp[i][j] 表示：⾛到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种方式。
- 状态转移方程
如果
dp[i][j]
表⽰到达
[i, j]
位置的⽅法数，那么到达
[i, j]
位置之前的⼀⼩步，有两种情况：
- 从 [i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
- 从 [i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。
由于我们要求的是有多少种⽅法，因此状态转移⽅程就是：
dp[i][j] = dp[i - 1] [j] + dp[i][j - 1] 。
- 初始化（防止填表时不越界）
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
- 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
- 「下标的映射关系」。
在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将
dp[0][1]
的位置初始化为
1
即可。
- 填表顺序
「从左往右」
- 返回值
返回 dp[m][n] 的值
代码实现
class Solution
{
public:
int uniquePaths(int m, int n)
{
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0)); // 创建⼀个 dp表
dp[0][1] = 1; // 初始化
// 填表
for (int i = 1; i <= m; i++) // 从上往下
{
for (int j = 1; j <= n; j++) // 从左往右
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
// 返回结果
return dp[m][n];
}
};
