线性代数 --- 投影Projection 四（投影有什么用？Why projection）

news2025/2/22 13:01:58

笔者在本系列的开篇就说过，我在学习投影的过程中，有很长的一段时间都是把重点放在了，如何计算投影本身，也就是背公式。

现在我发现（尤其是明白了投影即分量之后），学习投影的主要目的，或者说是学习重点，并不如何计算一个任意向量b在空间中另外一个向量/不同方向上的投影p。而是要思考为什么我们要绞尽脑汁把一个向量b，投影到我们希望的目标向量a或目标空间上(例如，三维空间中的x-y平面)？

现在我们再回到这幅图（将就看）：

这是一个二维空间 $\large R^{2}$ ，x轴与y轴分别是这个空间的两个子空间，他们过0点，且线性无关。

对于子空间x轴而言：

我们定义列向量b1=[1 0]'，为他的基底（Base）。注意，基底不唯一，可以是向量[n 0]'。

对于子空间y轴而言：

我们定义列向量b2=[0 1]'，为他的基底（Base）。

子空间中的任何一个向量都是由他的基底所张成（Span）的，例如，x轴上的向量[5 0]'，可以由5xb1的线性组合得到。或者说，基底通过线性组合可以张满整个空间。现在我们从矩阵的视角来看看，如果我们把基底b1[1 0]'当作2x1矩阵A的列向量，即：

$\large A=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}$

这样一来，向量b在x轴上的投影p(也就是在子空间x轴上的投影)，就变成了在A的列空间上的投影。它，可以通过A中各个列向量的线性组合得到。

对于子空间y轴而言，则：

$\large A=\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}$

在三维空间 $\large R^{3}$ 中有：

从投影到最小二乘：

继续前面的二维空间 $\large R^{2}$ 的例子：

1，向量b=[x y] ——投影在x方向——》得到投影向量p1=[x 0]'

2，投影向量p1，在矩阵A的列空间中，且，A的列是由基底b1=[1 0]'组成的。

3，这样一来，向量b在x轴或y轴上的投影/分量p1，就可以通过矩阵A各列的线性组合表示了。

4，现在可以把前面反复提及的向量b和线性代数中最常见的方程组Ax=b放在一起考虑。把向量b放在方程组的右端，如果方程组有解，则说明，向量b在A的列空间中，也就是说b在A的列空间上的投影就是它自己。因为，有解就说明向量b可以通过A的列向量的线性组合表示。

现在令b=p1=[x 0]，那么b就可以通过x轴的基底b1表示，b=x*b1[1 0]。

对于用基底作为A中各列的方程组Ax=b(p1)而言：

$\large A=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}$ （A的第一列等于b1） $\large b=p1=\begin{bmatrix} x\\ 0 \end{bmatrix}$ ，方程有解 $\large x=x$

5，可实际情况是方程组Ax=b的b并不等于p1[x 0]，而是b=[x y]。很明显方程组无解，因为，仅仅只是用[1 0]，是无论如何都得不到[x y]。这时，为了让方程有解，我们只能把b投影到A的列空间上，也就是x轴上，找到一个最接近原方程Ax=b的近似解x'，把求解原方程组Ax=b变成了求解新的方程组Ax'=p1，最终得到x'=x。

小结：