4562. 平整数组 - AcWing题库
题意：
思路：
一开始想的是
设DP状态是：dp[i][0/1]表示阶段到 i ，然后前面是递增or递减的最小sum的集合
然后我是怎么转移的呢，现在看来感觉挺好笑的：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mxn=2e3+10;
int n;
int a[mxn],dp[mxn][2];
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
dp[i][0]=dp[i-1][0]+abs(a[i]-a[i-1])*(a[i-1]<a[i]);
dp[i][1]=dp[i-1][1]+abs(a[i]-a[i-1])*(a[i-1]>a[i]);
}
int ans=min(dp[n][0],dp[n][1]);
cout<<ans<<'\n';
}这尼玛....和贪心有区别嘛....
就是如果满足单调就不去动这个位置的数，否则就把它变成前一个数
这显然不能这样做啊qwq
状态转移确实是不重不漏了，但是枚举决策和枚举上一层的状态，显然也要满足不重不漏啊
要枚举到所有决策和上一层的所有状态，才能保证DP的正确性吧
我这样写，显然都没枚举决策，直接按照贪心策略去转移了，答案自然是错的
正解应该是这样的：
设dp[i][j]表示枚举到阶段 i ，然后第 i 位置选 b[j] 的最小sum的集合
其中 b 数组是 a 数组离散化之后的结果，说白了就是 a 数组这个集合
为什么这么设计？首先阶段 i 不用说，我们去看是什么影响了决策
是单调性
因此我们要去记录一下该位置放的是什么数
这也提示了我们，决策是可以放在数组里的
而且，在状态设计的时候，表示的是该阶段的参数，这样好转移
然后怎么转移？
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=len;j++){
for(int k=1;k<=j;k++){
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+abs(a[i]-b[j]));
}
}
}这个咋想到的
转移顺序肯定是满足拓扑序的嘛
即先去枚举阶段 ，再去枚举状态，最后去枚举决策
第一层for循环就是枚举阶段
第二层for循环就是去枚举这个阶段的状态，即位置 i 的状态
然后就是去枚举决策，由于这道题决策也是状态的一部分，所以直接去枚举上一层状态 k
由于要满足单调性，这里先去考虑递增，所以上一层状态一定比这一层小，因此 k 在1到j之间
求完递增的，再求一遍递减的就好了
Code：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mxn=2e3+10;
int n,ans=0x3f3f3f3f;
int a[mxn],b[mxn],dp[mxn][mxn];
int main(){
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],b[i]=a[i];
sort(b+1,b+1+n);
int len=unique(b+1,b+1+n)-(b+1);
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
for(int j=1;j<=len;j++) dp[0][j]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=len;j++){
for(int k=1;k<=j;k++){
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+abs(a[i]-b[j]));
}
}
}
for(int j=1;j<=len;j++) ans=min(ans,dp[n][j]);
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
for(int j=1;j<=len;j++) dp[0][j]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=len;j++){
for(int k=j;k<=len;k++){
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][k]+abs(a[i]-b[j]));
}
}
}
for(int j=1;j<=len;j++) ans=min(ans,dp[n][j]);
cout<<ans<<'\n';
}但是这样复杂度是O(n^3)的，太暴力了
我们需要优化一下
这里复杂度优化的本质是，在枚举这一层阶段的状态时记录上一层状态的最值
用变量保存一下，然后直接转移就好了
Code：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mxn=2e3+10;
int n,ans=1e18;
int a[mxn],b[mxn],dp[mxn][mxn];
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],b[i]=a[i];
sort(b+1,b+1+n);
int len=unique(b+1,b+1+n)-(b+1);
memset(dp,127,sizeof(dp));
for(int j=1;j<=len;j++) dp[0][j]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int mi=1e18;
for(int j=1;j<=len;j++){
mi=min(mi,dp[i-1][j]);
dp[i][j]=min(dp[i][j],mi+abs(a[i]-b[j]));
}
}
for(int j=1;j<=len;j++) ans=min(ans,dp[n][j]);
memset(dp,127,sizeof(dp));
reverse(b+1,b+1+len);
for(int j=1;j<=len;j++) dp[0][j]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int mi=1e18;
for(int j=1;j<=len;j++){
mi=min(mi,dp[i-1][j]);
dp[i][j]=min(dp[i][j],mi+abs(a[i]-b[j]));
}
}
for(int j=1;j<=len;j++) ans=min(ans,dp[n][j]);
cout<<ans<<'\n';
}
