实验内容：运用分支限界法解决0-1背包问题

实验目的：分支限界法按广度优先策略遍历问题的解空间树，在遍历过程中,对已经处理的每一个结点根据限界函数估算目标函数的可能取值，从中选取使目标函数取得极值的结点优先进行广度忧先搜索，从而不断调整搜索方向，尽快找到问题的解。因为限界函数常常是基于向题的目标函数而确定的，所以，分支限界法适用于求解最优化问题。本次实验利用分支限界法解决0-1背包问题。 

算法核心思想

1. 首先对物品按照单位重量价值排序 
2. 计算上界值
3. 计算装入背包的真实价值bestvalue
4. 使用优先队列存储活节点
5. 根据bestvalue和重量进行剪枝
6. 根据优先队列先出队的节点选择最接近最优的结果的情况

详细过程可参考文章：0-1背包问题-分支限界法(优先队列分支限界法)_0-1背包问题-优先队列式分支界限法的基础思想和核心步骤-CSDN博客

解空间树： 

 完整代码：

import java.util.PriorityQueue;
//排列树
class Node implements Comparable<Node> {
    int level; // 当前层级
    int weight; // 当前重量
    int value; // 当前价值
    int bound; // 上界

    public Node(int level, int weight, int value, int bound) {
        this.level = level;
        this.weight = weight;
        this.value = value;
        this.bound = bound;
    }

    @Override
    public int compareTo(Node other) {
        // 按照bound的降序排列
        return other.bound - this.bound;
    }
}

public class Knapsack {
    int capacity; // 背包容量
    int n; // 物品数量
    int[] weights; // 物品重量
    int[] values; // 物品价值
    int bestvalue;

    public Knapsack(int capacity, int n, int[] weights, int[] values) {
        this.capacity = capacity;
        this.n = n;
        this.weights = weights;
        this.values = values;
    }

    public int maxValue() {
        // 初始化优先队列
        PriorityQueue<Node> queue = new PriorityQueue<>();
        queue.add(new Node(0, 0, 0, bound(0, 0,0)));
        int maxValue = 0;
        this.bestvalue = 0;
        while (!queue.isEmpty()) {
            Node node = queue.poll(); // 取出队首元素--扩展节点
            if (node.level == n) { // 达到叶子节点，更新最大值
                maxValue = Math.max(maxValue, node.value);
            } else {
                // 左子树：选择当前物品
                if (node.weight + weights[node.level] <= capacity) {
                    int leftbound  = bound(node.level + 1, node.weight + weights[node.level] ,node.value + values[node.level]);
                    if(this.bestvalue<node.value + values[node.level]){
                        this.bestvalue = node.value + values[node.level];
                    }
                    if (leftbound<this.bestvalue){
                        continue;
                    }
                    queue.add(new Node(node.level + 1, node.weight + weights[node.level],
                            node.value + values[node.level],leftbound));
                }
                // 右子树：不选择当前物品
                int rightbound =bound(node.level + 1, node.weight,node.value);
                if (rightbound<this.bestvalue){
                    continue;
                }
                queue.add(new Node(node.level + 1, node.weight, node.value,rightbound));
            }
        }
        return maxValue;
    }

    // 计算上界函数
    private int bound(int i, int weight,int val) {
        int remainingWeight = capacity - weight; // 剩余重量
        int remainingValue = 0; // 剩余价值
        int j = i;
        for (; j < n; j++) {
            if (weights[j] > remainingWeight) { // 当前物品装不下，跳出循环
                break;
            }
            remainingWeight -= weights[j]; // 减去当前物品的重量
            remainingValue += values[j]; // 加上当前物品的价值
        }
        if (j<n){ //使用了double类型进行除法运算来保留小数部分的价值
            remainingValue = (int) (remainingValue + remainingWeight*(double)(values[j]/weights[j]));
        }
        return remainingValue+val;
    }


    public static void main(String[] args) {
        //int[] wt = {4,7,5,3};
        //int[] val = {40,42,25,12};
        //必须按照单位单位价值从大到小
        int[] wt = {4,1,1,2,12};
        int[] val = {10,2,1,2,4};
        int capacity = 15;
        int n = wt.length;
        Knapsack knapsack = new Knapsack(capacity,n,wt,val);
        int res = knapsack.maxValue();
        System.out.println(res);
    }
}

输出结果：15