格密码基础：q-ary格

news2024/10/1 5:28:58

一. 格密码的重要性

二. 格密码基础

2.1 格点的另一种理解方式

三. q-ary格

3.1 q-ary垂直格

3.2 q-ary格

3.3 二者结合

四. 论文中的q-ary格

4.1 定理1

4.2 定理2

4.3 定理3

一. 格密码的重要性

格密码的基础是研究格点上的困难问题，这种格点使用抽象代数的观点则是 $R^n$ 上的子群。格密码近些年非常火热，主要由于以下几点：

抗量子攻击。基于传统数论的公钥密码系统是无法抵抗量子攻击的，这也是格密码最大的优势；
效率很高，可以平行操作。这个其实不能一概而论，得看实际情况。但目前我们常见的格密码方案效率都挺高的；
可实现最坏情况与平均情况之前的归约(worst case to average case)；
利用格密码相关理论可解决以前比较棘手的困难问题，这个地方的困难问题，指的是密码界常说的open question；

密码学的基础是LWE(learning with errors)和SIS(short integer solution)问题，当然也包括这两个问题的环版本。通常Ring版本的计算效率会更高。这两个问题可以实现可证明安全，由此让密码学家前仆后继。

二. 格密码基础

2.1 格点的另一种理解方式

有关格密码基础可以参看我之前的博客。今天，可以从抽象代数的角度理解格点：m维的格 $\Lambda$ 可以看成 $R^m$ 上的离散加法子群。

其中，格的秩与矩阵的秩k类似，满足 $k\leq m$ （在非满秩情况下，格的维度比最大的维度要小）。由此，给定格基 $B=\lbrace b_1,\cdots,b_k\rbrace$ ，该格基由k个线性独立的m维列向量组成，对该格基进行整数倍线性组合即可形成格，如下：

$\Lambda=\lbrace Bz:z\in Z^k\rbrace$

当然，正常情况下，研究格密码的论文大多是满秩格，也就是常说的 $\Lambda\subset Z^m$ 且 $k=m$ （如果涉及格上高斯采样，有可能会出现非满秩格）。

2.2 对偶格

格形成的整个空间，通常叫做 $span(\Lambda)$ 。如果从格上取一个格点 $x\in \Lambda$ ，接着再取一个向量点 $v\in span(\Lambda)$ ，满足如下要求的点，称之为对偶格 $\Lambda^*$ ：

$\langle v,x\rangle\in Z$

这个是从格点的角度看对偶格，还可以从格基的角度出发。

如果格非满秩，原始格 $\Lambda$ 的格基为B，那么对偶格的格基如下：

$B^*=B(B^tB)^{-1}$

大家看这个式子可能有点复杂，其实就是伪逆。在满秩格下，对偶格的格基就是先求逆再转置，如下：

$B^*=B^{-t}$

三. q-ary格

其实准确来讲，应该分为q-ary垂直格和q-ary格。

很多格密码的方案都是建立在q-ary格上的，之所以起这个名字是因为 $qZ^m$ 一定是q-ary垂直格的子格。

3.1 q-ary垂直格

我们先来看一个矩阵。对于正整数n和q，选出 $A\in Z_q^{n\times m}$ （密码学通常要求该矩阵随机取），这个矩阵是公开的，如果有一个向量z乘以该矩阵为0向量，那么把满足此条件的向量z全部都组合在一起，就称之为q-ary垂直格，如下：

$\Lambda^\bot(A)=\lbrace z\in Z^m:Az=0 \quad mod\ q\rbrace$

很明显可以得出 $qZ^m$ 一定是该格的子格。

3.2 q-ary格

同样，先选出一个矩阵 $A\in Z_q^{n\times m}$ ，接着遍历向量 $s\in Z^n_q$ ，将两者相乘，得到新的向量z，即可形成q-ary格，如下：

$\Lambda(A^t)=\lbrace z\in Z^m:\exists s\in Z_q^n\ s.t.\ z=A^ts\quad mod \ q\rbrace$

3.3 二者结合

实际上，q-ary格和q-ary垂直格互为q倍的对偶格，如下：

$q\cdot \Lambda^\bot(A)^*=\Lambda(A^t)$

在这里就不证明了。

当然，部分论文类推，也会出现“1-ary”格，也就是：

$\frac{1}{q}\Lambda(A^t)=\Lambda^\bot(A)^*$

此格既包含整数，又包含小数，可得 $Z^m$ 为其子格。

如果我们将 $Az=0$ 中的0改为任意向量 $u\in Z_q^n$ ，就会出现平移格或者叫陪集格(coset），如下：

$\Lambda_u^\bot(A)=\lbrace z\in Z^m:Az=u \quad mod\ q\rbrace$

四. 论文中的q-ary格

密码学三大会中经常会出现q-ary格，这里梳理一些常用的相关结论。

随机取一个 $A\in Z_q^{n\times m}$ ，假定q-ary垂直格 $\Lambda^\bot(A)$ 的某个格基为 $S\in Z^{m\times m}$ 。

4.1 定理1

对任意幺模矩阵 $T\in Z^{m\times m}$ ，都有：

$T\cdot \Lambda^\bot(A)=\Lambda^\bot(A\cdot T^{-1})$

理解：该定理描述了幺模矩阵与q-ary垂直格的关系。左边 $T\cdot \Lambda^\bot(A)$ 代表对每个q-ary垂直格进行幺模矩阵变换，该新格的格基为 $T\cdot S$ 。右边代表对矩阵A的变换，看q-ary格的原始定理可直接列出。

4.2 定理2

对任意可逆的方阵 $H\in Z_q^{n\times n}$ ,q-ary垂直格都满足：

$\Lambda^\bot(H\cdot A)=\Lambda^\bot(A)$

理解：矩阵可逆的话， $HAz=0$ 可直接变为 $Az=0$ ，与原来的q-ary垂直格等效。（注意矩阵H的顺序）

4.3 定理3

设定矩阵 $A\in Z_q^{n\times m}$ 的列秩大于等于n，换句话说也就是矩阵A的列向量可构成 $Z_q^n$ 。接着随机取矩阵 $A'\in Z_q^{n\times m'}$ 以及矩阵 $W\in Z^{m\times m'}$ ，满足如下：

$AW=-A'\quad mod\ q$

接着我们可以借助此性质对q-ary垂直格的矩阵A进行扩展，形成新的q-ary垂直格 $\Lambda^\bot ([A'|A])$ ，该q-ary垂直格的格基为：

$S'=\left[ \begin{array}{cc}I&0\\W&S \end{array} \right]$

另外，我们知道格基是可以进行正交化的。其实S'正交化后的矩阵如下：

$\tilde S'=\left[ \begin{array}{cc}I&0\\0&\tilde S \end{array} \right]$

通过矩阵的表达形式不难看出，该矩阵的模长与原始格基S正交化的模长相等，也就是：

$||\tilde S'||=||\tilde S||$

这个定理的证明需要用到很多线性代数的基础，如果有人感兴趣，后期再补上吧。

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