LeetCode-1962-移除石子使总数最小

题目信息:

给你一个整数数组 $piles$ ，数组 下标从 $0$ 开始 ，其中 $piles[i]$ 表示第 $i$ 堆石子中的石子数量。另给你一个整数 $k$ ，请你执行下述操作 恰好 $k$ 次：
选出任一石子堆 $piles[i]$ ，并从中 移除 $floor(piles[i]/2)$ 颗石子。
注意：你可以对 同一堆 石子多次执行此操作。
返回执行 $k$ 次操作后，剩下石子的 最小 总数。
注：$floor(x)$ 为 小于 或 等于 $x$ 的 最大 整数。（即，对 $x$ 向下取整）。

• 示例1：

输入：$piles=[5,4,9],k=2$
输出：12
解释：可能的执行情景如下：

• 对第 2 堆石子执行移除操作，石子分布情况变成 [5,4,5] 。
• 对第 0 堆石子执行移除操作，石子分布情况变成 [3,4,5] 。

剩下石子的总数为 12 。

• 示例2：

输入：$piles=[4,3,6,7],k=3$
输出：12
解释：可能的执行情景如下：

• 对第 2 堆石子执行移除操作，石子分布情况变成 [4,3,3,7] 。
• 对第 3 堆石子执行移除操作，石子分布情况变成 [4,3,3,4] 。
• 对第 0 堆石子执行移除操作，石子分布情况变成 [2,3,3,4] 。

剩下石子的总数为 12 。

提示：

• $1<=piles.length<=10^5$
• $1<=piles[i]<=10^4$
• $1<=k<=10^5$

相关标签 ：贪心，数组，堆（优先数列）

题解

方法1：贪心法（超时）

初见这道题，一阵开心，这不简单？在$k$次循环中每次找到当前值最大的下标，对其进行$floor(x)$操做，丢掉 $piles[max$_$index]$整除 $2$ 个石子。在完成循环后，得到的 $piles$ 数组的和即为我们在找的剩余石子的数量。

实现代码(Python)

class Solution:
    def minStoneSum(self, piles: List[int], k: int) -> int:
        if piles is None:
            return 0
        for i in range(k):
            maximum = max(piles)
            Max_index = piles.index(maximum)
            if piles[Max_index] % 2 == 0 :#如果当前值为偶数直接整除
                piles[Max_index] = piles[Max_index] // 2
            else :#如果当前值为偶数奇数则向下取整
                piles[Max_index] = piles[Max_index]//2 + 1
        print(piles)
        return sum(piles)

遗憾的是，并未通过全部的测试用例。定睛一看，本算法的时间复杂度为 $O(k\ast length)$ ， 而$1<=piles.length<=10^5$ ，$1<=k<=10^5$，则如果$k$和$length$均取最大值的话，确实最终的计算次数是超出最大的计算能力的。唯有想办法优化。

方法2：贪心法+优先队列（大根堆）

首先介绍一下什么是优先队列：优先队列是一种抽象数据结构，在优先队列中，元素被赋予优先级。当访问元素时，具有最高优先级的元素最先删除。优先队列具有最高级先出 （first in, largest out）的行为特征。通常采用堆数据结构（大根堆）来实现。（不了解大根堆的朋友可以自行百度相关知识）
根据题目描述，为了使得剩下的石子总数最小，我们需要尽可能多地移除石子堆中的石子。因此，每次应该贪心地选择数量最多的石子堆进行移除。
我们创建一个优先队列（大根堆） $heap$ ，用于存储石子堆的数量。初始时，将所有石子堆的数量加入优先队列。
接下来，我们进行 $k$ 次操作。在每一次操作中，我们取出优先队列的堆顶元素 $x$，将 $x$ 减半后重新加入优先队列。
在进行了 $k$ 次操作后，优先队列中所有元素的和即为答案。

实现代码(Python)

class Solution:
    def minStoneSum(self, piles: List[int], k: int) -> int:
        heap = [-x for x in piles]
        heapify(heap)
        for _ in range(k):
            heapreplace(heap, heap[0] // 2)
        return -sum(heap)

复杂度分析：

因为大根堆的插入时间复杂度为 $O(lo{g}_{2}n)$，所以该算法总的复杂度为：

• 时间复杂度 $O(n+k\times log{}_{2}n)$
• 空间复杂度 $O(n)$

其中 $n$ 是数组 $piles$ 的长度。

题记：

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• 水平有限，希望各位大佬能够批评指正。您的教诲是我进步的船帆。
• 希望各位跟我一样的小白能跟我一起参与到做题和讨论中来。共同进步是我所能期盼的最高愿想。
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