1. 引言

前序博客有：

• PLOOKUP
• PLOOKUP代码解析
• Efficient polynomial commitment schemes for multiple points and polynomials学习笔记
• PLONK + PLOOKUP
• PlonKup: Reconciling PlonK with plookup
• PLONK: permutations over lagrange-bases for oecumenical noninteractive arguments of knowledge 学习笔记
• Plonk代码解析

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要点：

• 1）采用 2020年论文Efficient polynomial commitment schemes for multiple points and polynomials中类似（详细可参看博客Efficient polynomial commitment schemes for multiple points and polynomials学习笔记）的多项式承诺方案，支持query多个多项式at多个points。
• 2）在多项式协议中引入了一个可信第三方$\mathcal{I}$，Prover与Verifier无法用Schwartz-Zippel Lemma实现非交互式，Prover必须与Verifier交互，且其交互的某个值依赖于 Prover与可信第三方$\mathcal{I}$的至少某一个消息。

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Polygon zero团队 Daniel Lubarov 和 Polygon zkEVM团队 Jordi Baylina 2022年9月联合发表的论文 《RapidUp: Multi-Domain Permutation Protocol for Lookup Tables》。

某些标准的密码学原语中包含了大量SNARK-unfriendly运算——如XOR运算。Gabizon等人2020年论文《plookup: A simplified polynomial protocol for lookup tables》，为解决这种SNARK-unfriendly运算，设计的协议中引入了lookup arguments——但是该协议仅适合用于相同的电路。本文的RapidUp协议，通过将grand-product多项式展开为2个具有相同size的（等价）多项式，不受限于相同电路。通过引入selectors，也可以让plookup协议更通用化。

2019年 Plonk 论文中包含了一种协议，用于证明，2个多项式基于某evaluation domain形成的evaluation vector，二者互为permutation。该协议后来进一步扩展为多个多项式，在Plonk主协议中用于证明各circuit gates是正确连接的。

通过构建“grand-product”多项式来实现permutation check。从上层来看，grand-product为所涉及的多项式evaluations的quotient的递增乘积。若该多项式的最后一个evaluation可正确cycle back为1，则可证明原始的evaluations之间互为permutation。

上述协议存在的一个主要问题在于，无法对 对不同的（可能相互关联的） domain的evaluate进行实例化。多项式$f$和$g$之间的permutation check仅适合 对相同的domain $H$进行evaluate 的场景。

本文对基于grand-product的协议 以2种不同方式进行了通用化改进：

• 1）各多项式可基于不同的domain进行evaluate，各domain甚至可具有不同的size。
• 2）适合原始evaluations之间相互不是permutation，但包含了该permutation的场景——即适合original values不是permute "in its whole"的情况。

如，具有集合 f = { 5 , 4 , 2 , 5 } f=\{5,4,2,5\} f={5,4,2,5}（某多项式基于domain size为$m$的evaluation集合）以及 g = { 9 , 7 , 5 , 8 , 5 , 1 , 6 , 9 , 4 } g=\{9,7,5,8,5,1,6,9,4\} g={9,7,5,8,5,1,6,9,4}（某多项式基于domain size为$n$的evaluation集合），二者当前不存在直接的permutation关系。

本文协议，可证明$f$的某特定子集$f^{\prime }$，与，$g$的某特定子集$g^{\prime }$，二者存在permutation关系。本例中， f ′ = { 5 , 4 , 5 } ， g ′ = { 5 , 5 , 4 } f'=\{5,4,5\}，g'=\{5,5,4\} f′={5,4,5}，g′={5,5,4}，二者permutation关系为$(1,3,2)$。【注意，$f,g$的长度可不同，但$f^{\prime },g^{\prime }$的长度是相同的。】

本协议的核心思想是，将grand-product多项式$Z$“切分”为2个多项式$Z_f,Z_g$——代表$Z$中的2个quotient member。若在某evaluation point，多项式$Z$的值为$A/B$，则在某（可能不同的）evaluation point，多项式$Z_f,Z_g$的值分别为$A,B$。根据$Z$的结构，这2个多项式的最后一个evaluation值要求是相等的。

为定义该多项式，需额外引入2个selectors集合$f^{sel}，g^{sel}$：

• 这些selectors可选择每个$f,g$中的indexes，以包含在待permutation check的子集$f^{\prime },g^{\prime }$中。
• 若某index被选中，相应selector值为1，否则为0。仍以上例为例，有 f s e l = { 1 , 1 , 0 , 1 } , g s e l = { 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 } f^{sel}=\{1,1,0,1\},g^{sel}=\{0,0,1,0,1,0,0,0,1\} fsel={1,1,0,1},gsel={0,0,1,0,1,0,0,0,1}。

至此，基于不同的evaluation domain，$Z_f,Z_g$的evaluation值定义为：

• Z f → { 1 , ( 5 + γ ) , ( 5 + γ ) ( 4 + γ ) , ( 5 + γ ) ( 4 + γ ) , ( 5 + γ ) ( 4 + γ ) ( 5 + γ ) } Z_f\rightarrow \{1,(5+\gamma),(5+\gamma)(4+\gamma), (5+\gamma)(4+\gamma),(5+\gamma)(4+\gamma)(5+\gamma)\} Zf​→{1,(5+γ),(5+γ)(4+γ),(5+γ)(4+γ),(5+γ)(4+γ)(5+γ)}
• Z g → { 1 , 1 , 1 , ( 5 + γ ) , ( 5 + γ ) , ( 5 + γ ) ( 5 + γ ) , ( 5 + γ ) ( 5 + γ ) , ( 5 + γ ) ( 5 + γ ) , ( 5 + γ ) ( 5 + γ ) , ( 5 + γ ) ( 5 + γ ) ( 4 + γ ) } Z_g\rightarrow \{1,1,1,(5+\gamma),(5+\gamma),(5+\gamma)(5+\gamma), (5+\gamma)(5+\gamma), (5+\gamma)(5+\gamma), (5+\gamma)(5+\gamma),(5+\gamma)(5+\gamma)(4+\gamma)\} Zg​→{1,1,1,(5+γ),(5+γ),(5+γ)(5+γ),(5+γ)(5+γ),(5+γ)(5+γ),(5+γ)(5+γ),(5+γ)(5+γ)(4+γ)}

其中$\gamma$为基于底层域的随机值。

以上2个多项式的最后一个值为相同的product value。相应的思想为：当且仅当$Z_f,Z_g$ 最后一个evaluate值相同时，subset { 5 , 4 , 5 } ⊂ { f i } \{5,4,5\}\subset \{f_i\} {5,4,5}⊂{fi​} 也为subset in { g i } \{g_i\} {gi​}。

1.1 用例：Lookup Tables

本协议可用于lookup tables场景。
lookup技术可用于reduce某些标准密码学原语的原生SNARK表示（如Keccak-256）。从上层来看，该技术是通过将某特定“SNARK-unfriendly”运算的所有可能输入/输出组合 预计算出 一个lookup table。不同于以某SNARK语言来表示这些运算，Prover只需声称相应的witness在相应的查找表中。

plookup 协议提供了一种简单高效的实现方案。存在的主要的问题在于在lookup中包含了vectors——witness-related的$f$ 与 table-related $t$ 之间需具有相近的length——如，可用于满足$|t|=|f|+1$的2个向量$f,t$之间。在2022年论文《PlonKup: Reconciling PlonK with plookup》中，以不同的方法（即填充）来调整该限制。同时，当$f,t$具有相同的length时，在PlonKup论文中可构建具有更少约束的更简单的lookup协议。

但是，仍然存在某些场景，$f,t$并不具有相近的长度。某传统场景中，$|f|$可为small power of two，而$t$可为big power of two。之前的协议就存在瓶颈了——需对$f$的长度进行调整，如对$f$填充其最后一个元素，使其填充后的长度适于PlonKup协议。但是 ，该调整将影响Prover和Verifier双方的效率，主要是影响Prover端的效率。

在本文中，提供了一种length问题的解决方案。

2. 相关约定

已知$n\in \mathbb{N}$，以$[n]$来表示集合 { 1 , 2 , ⋯   , n } \{1,2,\cdots,n\} {1,2,⋯,n}。
已知合适的$n,m\in {\mathbb{Z}}_0^{+}$，以$[n,m]$来表示集合 { n , n + 1 ， n + 2 , ⋯ m } \{n,n+1，n+2,\cdots m\} {n,n+1，n+2,⋯m}。

令field $\mathbb{F}$具有prime order，以${\mathbb{F}}^{\ast }$来表示相应的multiplicative group。
${\mathbb{F}}_{<n}[X]$为基于 $\mathbb{F}$的单变量多项式集合，其degree均小于$n$。
对于某多项式$f\in {\mathbb{F}}_{<n}[X]$，对某$i\in [n]$，定义：$f_i=f(w^i)$。

$\mathbb{F}$的某multiplicative subgroup $H$，其order为$N$，generator为$w$。$H^2$表示该集合内的每个元素为$H$中每个元素的平方。$H^{2^h}$表示该集合内的每个元素为$H$中每个元素的$2^h$次方。

对于某子集$H\subset {\mathbb{F}}^{\ast }$，vanishing多项式定义为：
$Z_H(X)={\prod }_{x\in H}(X-x)$。

2.1 Lagrange多项式

对于degree小于$n$的多项式$f(X)=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_{n-1}{X}^{n-1}$，选$n$个不同的插值点——$(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1),\cdots ,(x_{n-1},f(x_{n-1})))$，可唯一确定该多项式：
$f(X)={\sum }_{i=0}^n({\prod }_{j=0,j\ne i}^n\frac{X-x_j}{x_i-x_j})\cdot f(x_i)={\sum }_{i=0}^n{L}_i(X)\cdot f(x_i)$

当采样点为$(w^0,w^1,w^2,\cdots ,w^{n-1})$（构成domain $H$），其中$w$为generator，满足$w^n=1$时，Lagrange插值多项式$L_i(X)$表示为：
$L_i(X)={\prod }_{j=0,j\ne i}^n\frac{X-x_j}{x_i-x_j}=\frac{(X-w^0)\cdot (X-w^1)\cdots (X-w^{i-1})\cdot (X-w^{i+1})\cdots (X-w^{n-1})}{(x_i-w^0)\cdot (x_i-w^1)\cdots (x_i-w^{i-1})\cdot (x_i-w^{i+1})\cdots (x_i-w^{n-1})}=\frac{w^i(X^n-1)}{n(X-w^i)}$

满足：

• $L_i(w^i)=1$
• $L_i(w^j)=0$ for $j\ne i$

从而有Claim 1：

• 已知$i\in [n]$且$f,g\in \mathbb{F}[X]$，当且仅当$f(w^i)=g(w^i)$时，对所有的$x\in H$，有$L_i(x)(f(x)-g(x))=0$成立。

generator $w$还很适合用于表示“相邻值”的约束，即：

• 约束$f(X\cdot w^2)=f(X\cdot w)+f(X)$，表示$f$的相邻三个值遵循Fibonacci序列要求。

2.2 多项式承诺方案

本文的多项式承诺方案定义与 2020年论文Efficient polynomial commitment schemes for multiple points and polynomials中类似（详细可参看博客Efficient polynomial commitment schemes for multiple points and polynomials学习笔记），定义的为支持batched设置的多项式承诺方案，支持query多个多项式at多个points。

Definition 1：

其中的open协议满足如下属性：

• 完备性
• knowledge soundness in the algebraic group model