由于小波在应用形式上与卷积很相似，所以如果你有需要，可以查看我以前写过的内容：

信号采样基本概念 —— 冲激函数
卷积计算——1. 关于卷积的基本概念
卷积计算——2. 一些常用于图像的卷积核与应用

另外常见的信号处理工具，傅里叶变化，可以查看以下章节：

浅谈傅里叶——1. 从无穷级数到欧拉公式
浅谈傅里叶——2. 连续傅里叶公式推导与三角函数正交性
浅谈傅里叶——3. 傅立叶收敛性证明与非周期信号的推广
浅谈傅里叶——4. 傅里叶的特点分析与短时傅里叶
浅谈傅里叶——5. 短时傅里叶的缺点与卷积的基本概念
浅谈傅里叶——5. 短时傅里叶的缺点与卷积的基本概念
浅谈傅里叶——6. 采样、频率与一个简易的DFT函数
浅谈傅里叶——7. 带有相位信息的一维DFT实现方法
浅谈傅里叶——8. 一维iDFT的实现

文章目录

Haar小波的基本实现原理
代码实现
- Haar小波分解过程
- Haar小波复原过程
- 比较结果
一些其他实现手段

Haar小波的基本实现原理

小波分析是一种数学方法，用于分析和处理时间序列数据。它的基本思想是将时间序列数据分解为多个不同尺度的部分，以便在分解后的每个尺度上更好地理解数据的特征。

这里写图片描述

其中一种常用的小波变换方法是Haar小波变换。 Haar小波变换是一种离散小波变换，它可以将时间序列数据分解为近似信息和细节信息。近似信息是数据的一个粗略的表示，细节信息包含数据的细微差别。这样，在分解后的不同尺度上分析数据可以得到更清晰的视图。

通常，Haar小波变换是一种递归算法，可以对数据进行多次变换。在每次变换中，它将数据分成相邻的对，并计算每对的平均值和差值。平均值是近似信息，差值是细节信息。这两个信息都保存在列表中。接下来，程序将使用近似信息作为下一次变换的输入。

在多次变换后，Haar小波变换将生成一组近似信息和细节信息的列表。列表中的每个元素都对应于不同的尺度。这些信息可以用于分析数据的不同特征。

与Haar小波变换相对应的是Haar小波逆变换。这种逆变换可以将Haar小波变换分解后的信息合并成原始时间序列数据。它使用相同的递归算法，但是它是将信息合并而不是分离。

代码实现

Haar小波分解过程

现在让我们来看看给出的代码。首先，定义了一个名为discrete_wavelet_transform的函数，该函数接受两个参数：数据列表和深度。深度表示要进行多少次变换。

函数开始执行时，首先限制深度为所需的变换数量，以将整个数据列表转换为整数。然后初始化一个空列表，用于存储不同尺度的细节信息。

def discrete_wavelet_transform(data, depth):
    # Haar Discrete Wavelet Transform, depth passes
    depth = min(int(math.log2(len(data))), depth)  # Limit depth to the number of passes needed to transform the entire data list
    details = []  # Initialize empty list to store details at different scales

    # Loop through the number of passes
    for d in range(depth):
        # Initialize empty lists for approximations and details for the current pass
        approximations, details_for_pass = [], []
        # Loop through data by pairs of values
        for i in range(0, len(data), 2):
            # Append the average of the pair to the list of approximations
            approximations.append(sum(data[i:i+2]) / 2)
            # Append the difference between the first value of the pair and the average to the list of details
            details_for_pass.append(data[i] - approximations[-1])
        # Add current details to the beginning of the list
        details = details_for_pass + details
        # Replace data with approximations for the next pass
        data = approximations

    return approximations, details  # Return approximations and details at different scales

接下来，开始一个循环，循环次数为深度。在循环的每次迭代中，都会初始化一个近似信息列表和当前循环的细节信息列表。然后，开始另一个循环，循环次数为数据列表的长度，每次循环都会跳过两个值。在循环的每次迭代中，都会计算对的平均值并将其添加到近似信息列表中，并将对的第一个值与平均值之差添加到细节信息列表中。

在当前循环结束后，将当前细节信息添加到细节信息列表的开头。然后用近似信息替换数据列表，以便进行下一次变换。

Haar小波复原过程

接下来是另一个函数，名为inverse_discrete_wavelet_transform，它接受近似信息和细节信息列表作为参数。该函数执行Haar小波逆变换，并返回原始时间序列数据。

def inverse_discrete_wavelet_transform(approximations, details):
    # Haar Inverse Discrete Wavelet Transform, depth passes
    N = len(approximations + details)  # Calculate length of original data
    sums = [sum([[k] * (N // len(approximations)) for k in approximations], [])]  # Initialize a list of sums with approximations
    bs, i = N // 2, 0  # Initialize block size and index

    # Loop until block size becomes 0 or all details have been processed
    while bs > 0 and i < len(details):
        # Initialize a list of values for the current block of details
        values = []
        # Loop through the current block of details
        for a in details[::-1][i:i+bs]:
            # Append alternating negative and positive values to the list of values
            values.extend([-a] * (N // (2 * bs)))
            values.extend([a] * (N // (2 * bs)))
        # Reverse the list of values and add it to the list of sums
        sums.append(values[::-1])
        # Move to the next block of details
        i += bs
        # Divide block size by 2
        bs //= 2

    # Calculate reconstructed data by summing values at each index in list of sums
    rec_data = [sum([s[j] for s in sums]) for j in range(N)]
    return rec_data  # Return reconstructed data

首先计算原始数据的长度，然后将近似信息和细节信息放在一个列表中。然后初始化一个和的列表，并将近似信息添加到该列表中。初始化块大小并将其设置为原始数据的一半，并初始化索引。

然后进入一个循环，循环将持续到块大小为0或处理完所有细节信息为止。在每次循环迭代中，都会初始化一个值列表，用于存储当前块的细节信息。然后进入另一个循环，循环次数为当前块的细节信息。在循环的每次迭代中，都会将负值和正值的序列分别添加到值列表中。这些值列表的大小都是原始数据的一半除以当前块的大小。

然后将值列表翻转，并将其添加到和的列表中。接下来，将索引设置为当前块的细节信息数量，并将块大小除以2。

最后，计算原始时间序列数据的重建数据。这是通过对和的列表中的每个索引的值求和来实现的。

比较结果

接下来相对比较简单，首先生成了一个具有1024个样本的正弦波。然后调用discrete_wavelet_transform函数，将数据列表和10（即要进行的变换次数）作为参数。

接下来，调用inverse_discrete_wavelet_transform函数，将获得的近似信息和细节信息作为参数。

最后，在主函数的循环中，打印出原始数据和重建数据的每对值。

def main():
    # generate a sin(x) for a sine wave
    signal = [math.sin(math.pi * float(i)/100.0) for i in range(100)]

    # Apply the DWT to the data with a depth of 8
    approx, details = discrete_wavelet_transform(signal, 2)

    # Reconstruct the original data from the approximations and details
    r_signal = inverse_discrete_wavelet_transform(approx, details)

    # compare the reconstructed data with the original data
    for i in range(len(signal)):
        # print the original data and the reconstructed data and keep the output to 2 decimal places
        print('{:.2f} {:.2f}'.format(signal[i], r_signal[i]))


if __name__ == '__main__':
    main()  # Call the main function