悬而未决之谜

✅结合能控分解思考，非奇异线性变换会不会导致某变量的可控可观性发生变化？

事实上，进行线性变换（能控/能观分解）后，状态变量的物理意义已经发生变化。
原问题我想问的意思其实是，任给一个矩阵A，可否知道每个状态是否可观/可控，应该可以用PBH判据判断【不太确定】

✅如图所示与时域结合时，传递函数是开环or闭环？

应该是对应的闭环传递函数，是直接连接输入和输出、没有反馈部分的

——但是要注意 在现控中往往没有开环/闭环概念

✅对于一般状态，给出ABC，怎么判断每个变量的能控能观性？【非上三角/下三角】

回答：就是能控能观分解呗

状态函数结构图

要点🌟

• 在每一个方框图之后加入变量x
• 如果传递函数为高阶，可以部分分式展开，则展开
• • 若不可以，则组合设置两个状态变量，其中一个状态变量为另一状态变量的导数${\dot{x}}_1$ 或者 使用反馈结构
• 若展开后，分子还有项，则进行并联
  
• 如上图所示，如果出现分子分母同阶，说明动态方程中的D可能不为0，y和u可能直接相关【其实就是上面结论的推论】

举例1 传递函数有分子-改并联+传递函数高阶分母-部分分式展开

注：上面的部分也可以改成积分环节和惯性环节串联

举例2 传递函数分母无法进行部分分式展开法 组合设置两个状态变量状态变量的导数

举例3 不可部分分式展开，也可以考虑用反馈环节

举例4 所有的惯性环节都可以用反馈环节代替之【这个例子也告诉我们有常数项时，变量的选取应该放在积分后而非整个传函后】

已知传递函数求状态方程矩阵

要点

• 注意分母$s^n$的最高阶前的系数是1
• 可控型（I型）和可观型（II）型互为对称
• 要掌握可控/可观/约旦阵的结构图形式

  能控结构图

  从输入唯一性和三个积分环节入手，确定三个变量的顺序
  【$x_3$和输入有关，更靠近输入】
  

  能观结构图

  从输出唯一性和三个积分环节入手
  【$x_3$和输出有关，更靠近输出】（和能控性中的完全相反）

  约旦标准型

  根据特征值数目不同，有不同条支路并联

可控/可观/约旦阵的选取方式

• 要了解可控/可观/约旦阵的状态变量选取方式

  • 能控选取方式
    $$\{\begin{array}{c}{x}_1=y\\ x_2=\dot{y}\\ ⋮\\ x_n=y^{(n-1)}\end{array}$$
  • 约旦选取方式
    $$\{\begin{array}{c}{X}_1(s)=\frac{1}{s-{\lambda }_1}{X}_2(s)\Rightarrow {\dot{x}}_1={\lambda }_1{x}_1+x_2\\ \\ X_2(s)=\frac{1}{s-{\lambda }_1}{X}_3(s)\Rightarrow {\dot{x}}_2={\lambda }_1{x}_2+x_3\\ \\ X_3(s)=\frac{1}{s-{\lambda }_1}U(s)\Rightarrow {\dot{x}}_3={\lambda }_1{x}_3+u\\ \\ X_4(s)=\frac{1}{s-{\lambda }_2}U(s)\Rightarrow {\dot{x}}_4={\lambda }_2{x}_4+u\\ ⋮\\ X_n(s)=\frac{1}{s-{\lambda }_{n-2}}U(s)\Rightarrow {\dot{x}}_n={\lambda }_{n-2}{x}_n+u\end{array}$$

可控型表达式🌟🌟

可观型表达式🌟🌟

约旦/对角阵

普通对角

传递函数
矩阵类型

补充：如果发生零极点对消，且要求列写不能控不能观⚠️

分析：如果产生零极点对消，相当于对应的状态变量“消失了”。因此之前的“全1行/列”中，该状态变量对应的1可以改为0
举例：传递函数如图

约旦对角【有重根】🌟🌟

传递函数

矩阵类型

举例1 传递函数上下齐次

此时应该先提取常数项，变成分母阶次比分子高，再进行操作
注意此时的输出，需要加u的常数项倍

离散状态空间及定常方程*极大概率不考

结构图

注意把积分环节改成延迟环节

连续系统离散化

离散系统状态转移方程

举例-x(0)已知时

Q：哈工大真题的2003-九已知x(t)求x(0)怎么做？

状态转移矩阵

求解状态转移矩阵的方法

拉式变换法🌟

$$e^{At}=\Phi (t)=L^{-1}\left[(sI-A{)}^{-1}\right]$$

对角矩阵

约旦阵

状态转移矩阵常用性质

$\Phi (t_1)\cdot \Phi (t_2)=\Phi (t_1+t_2)$

齐次方程的解🌟🌟

$$x(t)=\Phi (t)=e^{At}{x}_0,t>=0$$

结合拉式变换法，用反拉式变换轻松求得答案。

$e^{At}=\Phi (t)=L^{-1}\left[(sI-A{)}^{-1}\right]$【拉氏变换】

举例1 利用状态转移矩阵的一些性质

非齐次方程的解

拉式变换法【现推、不常用】

积分法【推荐掌握】🌟🌟

举例1 带输入矩阵解的时域表达式

举例2 带脉冲输入的时域表达式

第一步：求状态转移矩阵，注意拉氏反变换相关知识

第二步：状态响应，【阶跃】结合【积分】极大优化运算

传递函数阵的实现问题

题型如下图所示：

要点：判断输入输出的矩阵行列数【Tops】🌟

$$G_{m\times r}$$

• G阵的列数r对应u输入的列数r，G阵的行数m对应y输出的行数m，绝对不变🌟
• 能控阵和能观阵实现可能有所不同：🌟
  对于A阵方阵，方阵的行数=列数=
  • 能控-n[分母阶次]*r[传函列数]；
  • 能观-n[分母阶次]*m[传函行数]
• 原理还是标准型实现的原理，如果维数不够，乘对应的单位矩阵
• 注意转置时，内部的每个小矩阵不转置
• 总而言之，传递函数列少时，能控更好写；行少时，能观更好写

通解

1. 提取常数使传函全都是真分式【之后常数部分作为传递函数中的矩阵$D$】
2. 提取公分母，还是按照常数、$s^1$、$s^2$升阶顺序排列

举例1 提取常数化成真分式后做题

拆分

可控

可观

能控性与能观性

能控能观判据一览🌟🌟

Way1 单输入单输出下 零极点对消必然不是“可控可观”

Way2 能控能观性判据

可控性判断：
$M=(B,AB,A^{2}B,...,A^{n-1}B)$
可观性判断：
$N=(C,CA,C{A}^2,...,C{A}^{n-1}{)}^T$

Way3 对角阵/约旦阵

可控，同约旦块看最后一行B，可观看第一列C
相同特征值的不同约旦块之间需要线性无关才能保证可控/可观

Way4 PBH判据

变可控标准型🌟🌟

前提条件：系统能控
做题经验：求出特征值后，A可以由特征方程的系数得到而不用求$T_c$；但是求C要费点劲（结合变换矩阵T）
【没有$a_0$项】

举例 求一般矩阵（可控）的能控标准型

能控分解🌟🌟

其中，$R_c$的前$n_1$列，是判别矩阵M中的任意线性无关的$n_1$列，剩下的列任取，保证$R_c$可逆即可

这里的可控针对的是变换后的状态变量，和原来的

变可观标准型🌟🌟

前提条件：系统能观
做题经验：求出特征值后，A可以由特征方程的系数得到而不用求T；但是求B要费点劲（结合变换矩阵$T_0^{-1}$）

举例 求一般矩阵（可观）的能观标准型

能观分解🌟🌟

其中，$R_o^{-1}$的前$n_1$行，是判别矩阵M中的任意线性无关的$n_1$行，剩下的行任取，保证$R_o$可逆即可

举例1 进行能控+能观分解，即最小实现问题【较难，注意第二步线性变换的方式】

• 思路
  相当于对系统进行能控性（能观性）分解后，再分别对两个部分进行能观性（能控性）分解
  
  

例题

1. 能控性分解
   
2. 对能控部分进行能观性分解
   补充说明：如果能观性分解后，能控不能观的部分是一维的，即一个数【如本题】，那就看做“输入u”，直接左乘变换矩阵$R^{-1}$，不需要右乘R
   
   【上面截图最后一行出错了】

Q 如果传递函数有零极点对消，那么一定不是最小实现

线性变换

基础知识🌟

线性变换的公式

要求：变换矩阵T非奇异

推导过程

线性变换性质

传递函数不变、特征值不变、系统【注意，是系统不是矩阵A】的可控可观性不变

变为对角阵（A可进行相似对角化）

对应：特征值无重根的情况
方法：找特征向量进行相似对角化

相似对角化中一个特例：A阵为友矩阵（仍要满足特征值无重根）

矩阵

对应变换公式

变为约旦阵（特征值有重根且A不可进行相似对角化）🌟

同样的特例：友矩阵

举例1 线性变换后求可观性✅

经判断，A是友矩阵，线性变换为范德蒙德行列式

线性定常系统反馈问题

状态反馈【题目多，灵活】

结构图【反馈到输入后，B前】

求解方法【官方，规范，必须遵守】✨

1. 判断系统是否满足能控性
2. 列写反馈后的系统多项式【A+bK：正反馈 或者 A-bK：负反馈】其中K是1xm维未知向量
3. 比较期望特征多项式和带参数的特征多项式的各项系数

绘图示例

技巧方法🌟【⚠️本方法只适用于A为能控标准型情况】【状态观测器中该技巧对偶存在】

注意，k的下标和s前的系数是一致的，状态反馈后系统零点未改变

在此方法下…

在此方法下，分母就是特征多项式，分子不变，因为状态反馈不改变系统零点

举例1 状态反馈+结构图

举例2 状态反馈+反馈后可观性

举例3 状态反馈+结构图&零极点对消

输出反馈*【考察的不多】

结构图【往往用下面的，反馈到状态变量导数前，B后】

求解方法【官方，规范，必须遵守】✨

1. 判断系统是否满足能观性
2. 列写反馈后的系统多项式【A+Gc：正反馈 或者 A-Gc：负反馈】其中G是rx1维未知向量
3. 比较期望特征多项式和带参数的特征多项式的各项系数

系统镇定【套路固定】

求解方法

进行能控分解后，系统镇定的充要条件是不可控部分特征值为负，因此基本套路如下：

1. 能控分解，判断不能控部分特征方程是否均具有负实部
2. 能控部分进行极点配置【随便配置，能控部分满足条件即可，不能控部分系数任意】
3. ✨✨将能控部分的状态反馈系数K‘转为原系统的状态反馈系数K（右乘$T_c^{-1}$）

   转换方法如下
   
   类似地，输出反馈的话是左乘$(T_o^{-1}{)}^{-1}$【都是对：能直接得到的矩阵 求逆，一个是左乘，一个是右乘】

求解方法② 利用PBH判据*非主流

参考上面的可控性判断，主流方法是判断不可控的部分是否稳定，这个是判断不稳定的部分是否可控

举例1 系统镇定+能控分解后的状态反馈向原状态反馈的转变🌟🌟✨

1. 能控分解
   

2. 状态反馈配置可控部分
   

3. 将能控分解矩阵对应的反馈系数$K$转为线性变换前反馈系数$K_0$
   

解耦*【从未考察】

求解方法

纯粹就是套模板

1. 判断每一个输入对应的di
   
2. 代公式
   
3. 判别
   

状态观测问题

全维状态观测

结构图示意

本质上是状态反馈

✨✨另一种表述

举例1 全维观测器+列写观测器方程

举例2 状态观测器（输出反馈）+状态反馈

设计观测器和进行状态反馈实际上是完全分开的

1. 设计观测器
   
2. 设计状态反馈【可以考虑使用技巧方法】
   
3. 模型类似于下图：
   动态方程：
   
   两种模型
   

全维状态观测器的误差求解

举例【实质上是齐次方程求解问题】

注意最后一步取了一个模长

一个结论：极点距离虚轴越远，趋于稳定的速度越快，调节时间也就越快。

降维观测器

原理是利用通过调整输出对应的输出矩阵，可以获得一部分状态变量的观测值，从而减小传感器的数量等等。

Step01 设计$T^{-1}$，线性变换将输出矩阵调整成(0,0,I)形式

类似能观分解，能观分解中的矩阵选择，都是“一部分取原来的，一部分保证非奇异”
区别在于，可观分解是判据阵 前m-1行，这个是输出阵 后m行

$T^{-1}$满足以下要求：最后m行为原输出矩阵C，上面的其他行任取，保证非奇异即可
然后以T为非奇异线性变换矩阵，进行线性变换

通常情况下，对输出y相关变量进行矩阵操作时，往往直接得到的是逆

完成线性变换后，可将A矩阵视为$\overline{A_{11}},\overline{A_{12}},\overline{A_{21}},\overline{A_{22}}$【加横线代表和之前不一样】

Step02 设计降维状态观测器

按照$A_{11}，A_{21}$进行极点配置
$$\begin{array}{l}f(\lambda )=\det \left(\lambda I-\left(\overline{A_{11}}-G\overline{A_{21}}\right)\right)\\ f^{\ast }(\lambda )=(\lambda -s_1)(\lambda -s_2)...(\lambda -s_n)\end{array}$$

Step03 套公式🌟🌟

这么做的原因是，原来的表达式里存在$\dot{y}$，不好求解

Step04 变回原有系统

上一步结果左乘$T$
$$\hat{x}=T\hat{\overline{x}}$$

举例1 降维观测器经典例题

Step01 能观性判断+变换矩阵设计

Step02 设计降维观测器

Step03 代入两个公式

Step04 线性变换变回去

不熟练公式记录

状态方程非齐次求解【积分形式】
状态方程齐次求解和$e^{At}$表达式书写
一般矩阵化能控标准型