三角形内心的性质

三角形内切圆的圆心称为三角形的内心。内心也是三角形三个角的角平分线的交点

性质1

1.1

设$I$为$△ABC$内一点，则$I$为$△ABC$内心的充要条件是下列条件之一：
1.1.1 $I$到$△ABC$三边距离相等

充分性证明：
设$I$到三边距离为$r$
以$I$为圆心，$r$为半径作圆
因为圆心$I$到$AB$的距离为$r$等于半径
所以$AB$是圆的切线，同理BC,AC也是圆的切线
所以该圆是$△ABC$的内切圆，故$I$是$△ABC$的内心
必要性证明：
当$I$是$△ABC$的内心时，
设圆的切点分别为$D,E,F$，则$ID\perp BC,IE\perp AC,IF\perp AB$
而$ID=IE=IF=r$,所以$I$到$△ABC$三边距离相等

1.1.2 $\angle AIB=90°+\frac{1}{2}\angle C,\angle BIC=90°+\frac{1}{2}\angle A,\angle CIA=90°+\frac{1}{2}\angle B$

充分性证明：
$\angle AIB+\angle ABI+\angle BAI=180°$
$\angle C+\angle BAC+\angle ABC=180°$
$\because \angle AIB=90°+\frac{1}{2}\angle C$
$\therefore (\angle ABI+\angle BAI)=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ABC)$
同理有：$\therefore (\angle BCI+\angle CBI)=\frac{1}{2}(\angle ACB+\angle ABC)$和$\therefore (\angle ACI+\angle CAI)=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACB)$
可解出$AI$为$\angle BAC$的角平分线，$BI$为$\angle ABC$的角平分线，$CI$为$\angle ACB$的角平分线
所以$I$是$△ABC$的内心

必要性证明：
$\angle AIB+\angle ABI+\angle BAI=180°$
$\angle C+\angle BAC+\angle ABC=180°$
$\because \angle BAC=2\angle BAI,\angle ABC=2\angle ABI$
$\therefore \angle AIB=90°+\frac{1}{2}\angle C$
另外两个同理

1.1.3 $△AIB,△BIC,△CIA$的外心均在$△ABC$的外接圆上
由性质1.1.2可以证明

1.2

设$I$为$△ABC$内一点，$AI$所在直线交$△ABC$的外接圆于$D$。则$I$为$△ABC$内心的充要条件是$ID=DB=DC$

充分性证明：
$\because DB=DC$
$\therefore \angle BAD=\angle CAD$
$\therefore AI$是$\angle BAC$的角平分线
$\because ID=DB$
$\therefore \angle DBI=\angle DIB$
$\angle CBI+\angle CBD=\angle ABI+\angle BAI$
故$\angle CBI=\angle ABI$
所以$BI$是$\angle ABC$的角平分线
因此$I$是内心
必要性证明：
$\because I$是内心
$\therefore \angle BAD=\angle CAD$
$\therefore D是\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}的中点$
故$DB=DC$
欲证$ID=DB$，只需证$\angle DBI=\angle DIB$
$\because \angle DBI=\angle CBI+\angle DBC=\angle ABI+\angle DCB=\angle ABI+\angle DAB=\angle DIB$
$\therefore ID=DB=DC$

1.3

一条直线截三角形，把周长$l$与面积$S$分为对应的两部分$l_1,l_2$与$S_1,S_2$，则此直线经过三角形内心的充要条件是$\frac{l_1}{l_2}=\frac{S_1}{S_2}$

充分性证明：
作$\angle A$的角平分线与PQ交于$I$，$I$在三边上的射影为$D,E,F$
则$IE=IF$，所以$S_1=l_1\cdot IE$,$S_2=ID\cdot BC+(BP+CQ)\cdot IE$
比较可得$ID=IE$，故$I$为内心
必要性证明：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{AP\cdot IF+AQ\cdot IE}{ID\cdot BC+IE\cdot CQ+IF\cdot BP}$
因为$I$是内心，所以$ID=IE=IF$
故$\frac{S_1}{S_2}=\frac{AP+AQ}{BC+BP+CQ}=\frac{l_1}{l_2}$

性质2

设$I$为$△ABC$的内心，$BC=a,CA=b,AB=c$，$I$在$△ABC$上的射影为$D,E,F$，内切圆半径为$r$，半周长$p=\frac{a+b+c}{2}$

2.1

$S_{△ABC}=pr$

证明：
$S_{△ABI}=\frac{1}{2}AB\cdot IF=\frac{1}{2}cr$，$S_{△ACI}=\frac{1}{2}AC\cdot IE=\frac{1}{2}br$，$S_{△BCI}=\frac{1}{2}BC\cdot ID=\frac{1}{2}ar$
累加得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}r(a+b+c)=pr$

2.2

$AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c$

证明：
由切线长定理得：$AE=AF,BD=BF,CE=CD$
设$AE=AF=x,BD=BF=y,CE=CD=z$
则$x+z=b,x+y=c,y+z=a$
因此$AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c$

2.3

$abcr=p\cdot AI\cdot BI\cdot CI$

证明：
令$AI$延长后与$BC$交于A₁，利用Stewart定理可得$$A{A}_1^2=\frac{bc(a+b+c)(b+c-a)}{(b+c{)}^2}$$
再利用$\frac{AI}{I{A}_1}=\frac{b+c}{a}$，可得$$AI=\sqrt{\frac{bc(b+c-a)}{a+b+c}}$$
注意到海伦公式即得$abcr=p\cdot AI\cdot BI\cdot CI$

性质3

过$△ABC$内心$I$任作一条直线，分别交$AB,AC$于$P,Q$,则
$$\frac{AB}{AP}\cdot AC+\frac{AC}{AQ}\cdot AB=AB+BC+CA$$

证明：
$\frac{AD}{AI}=\frac{S_{四边形APDQ}}{S_{△APQ}}=\frac{S_{△APD}+S_{△AQD}}{S_{△APQ}}=\frac{AC}{AQ}\cdot \frac{S_{△ABD}}{S_{△ABC}}+\frac{AB}{AP}\cdot \frac{S_{△ACD}}{S_{△ABC}}=\frac{AC}{AQ}\cdot \frac{BD}{BC}+\frac{AB}{AP}\cdot \frac{CD}{BC}$
$\because I$是内心
$\therefore \frac{AD}{AM}=\frac{a+b+c}{b+c},\frac{BD}{BC}=\frac{c}{b+c},\frac{CD}{BC}=\frac{b}{b+c}$
代入即证

性质4

设$△ABC$的内心为$I$，$△ABC$内一点P在$BA,CA,AB$上的射影分别为$D,E,F$，当$P$与$I$重合时，$\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}$的值最小

证明：
$BC\cdot PD+CA\cdot PE+AB\cdot PF=2S_{△ABC}$
由Cauchy不等式得：$\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}\ge \frac{(BC+CA+AB{)}^2}{BC\cdot PD+CA\cdot PE+AB\cdot PF}=\frac{(a+b+c{)}^2}{2S_{△ABC}}$
取等条件为$\frac{\frac{BC}{PD}}{BC\cdot PD}=\frac{\frac{CA}{PE}}{CA\cdot PE}=\frac{\frac{AB}{PF}}{AB\cdot PF}$，即$PD=PE=PF$，所以$P$与$I$重合