泊松分布、泊松定理

news2024/11/15 23:45:46

泊松分布

假设随机变量 $X$ 所有可能的取值为 $0,1,2,\cdots$ ，并且取各个值的概率为：

$P(X=k)=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}$ ， $k=0,1,2,\cdots,$

其中 $\lambda >0$ 是常数

那么就称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X\sim \pi (\lambda )$ 。

泊松定理

设 $\lambda >0$ 是常数， $n$ 是任意正整数，并且 $np_{n}=\lambda$ ，那么对任意一个非负整数 $k$ ，有

$\lim_{n \to \infty }C_{n}^{k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}$

因为 $np_{n}=\lambda$ 是个常数，当 $n$ 非常大时， $p_{n}$ 非常小，此时二项分布近似等于泊松分布，即有下面的近似式：

$C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\approx \frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}$ ，约束条件 $np=\lambda$

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