【计算机视觉】Harris角点检测

news2024/11/24 20:13:50

角点指的是窗口延任意方向移动，都有很大变化量的点。

用数学公式表示为：

$E(u,v) = \sum _{x,y} w(x,y)[I(x+u,y+v)-I(x,y)]^2$

这个公式表示移动后的窗口，与移动前的窗口对应元素相减的平方， $w(x,y)$ 为每个像素点的权重

$E(u,v)$ 反映了如何移动窗口，以及移动窗口后的响应值

为了让 $E(u,v)$ 和 $u,v$ 直接建立关系，不用借助 $I(x,y)$ ，将 $E(u,v)$ 进行泰勒展开

$\displaystyle E(u,v)\approx E(0,0)+\begin{bmatrix} u & v \end{bmatrix}\begin{bmatrix} E_u(0,0)\\E_v(0,0) \end{bmatrix} \\ \\ \\ +\frac{1}2{}\begin{bmatrix} u & v \end{bmatrix}\begin{bmatrix} E_{uu}(0,0) & E_{uv}(0,0) \\E_{vu}(0,0)&E_{vv}(0,0) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}\displaystyle$

$E(0,0) = 0$

$E_u(u,v) = \sum _{x,y}2w(x,y)[I(x+u,y+v)-I(x,y)]I_x(x+u,y+v)$

$E_v(u,v) = \sum _{x,y}2w(x,y)[I(x+u,y+v)-I(x,y)]I_y(x+u,y+v)$

$E_u(0,0) = E_v(0,0) = 0$

$E_{uu}(u,v) = \sum _{x,y}2w(x,y)[I_x^2(x+u,y+v) \\\\ +[I(x+u,y+v)-I(x,y)]I_{xx}(x+u,y+v)$

$E_{vv}(u,v) = \sum _{x,y}2w(x,y)[I_y^2(x+u,y+v) \\\\ +[I(x+u,y+v)-I(x,y)]I_{yy}(x+u,y+v)$

$E_{uu}(0,0) = \sum _{x,y}2w(x,y)I_x^2(x,y)$

$E_{vv}(0,0) = \sum _{x,y}2w(x,y)I_y^2(x,y)$

$E_{uv} (u,v)=E_{vu}(u,v)\\\\=\sum _{x,y}2w(x,y)[I_xI_y +[I(x+u,y+v)-I(x,y)]I_{xy}]$

$E_{uv} (0,0)=E_{vu}(0,0)=\sum _{x,y)}2w(x,y)I_x(x,y)I_y(x,y)$

最终：

$E(u,v) = \begin{bmatrix} u &v \end{bmatrix}M \begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ \ M=\sum _{x,y}w(x,y)\begin{bmatrix} I^2_x & I_xI_y \\ I_xI_y & I^2_y \end{bmatrix}$

假设 $I_x,I_y$ 是互不影响的：

$M=\begin{bmatrix} \lambda _1 & 0\\0 & \lambda_2 \end{bmatrix}$

$E(u,v) = \begin{bmatrix} u & v \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_1 &0 \\ 0&\lambda_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix}$

只有当 $\lambda_1,\lambda_2$ 都不为0时 $(x,y)$ 才是角点

若 $I_x,I_y$ 相关可以通过正交化变成前面的形式

$M = \begin{bmatrix} a &c \\c & d \end{bmatrix}= R^{-1}\begin{bmatrix} \lambda_1 &0 \\ 0&\lambda_2 \end{bmatrix}R= R^{T}\begin{bmatrix} \lambda_1 &0 \\ 0&\lambda_2 \end{bmatrix}R$