【数字信号处理】DFT

DFT

2023年11月18日
#elecEngeneer

文章目录

DFT
- 1. 离散傅里叶变换-DFT
- 2. 离散傅里叶反变换-IDFT
- 3. DFT的误差
- 下链

1. 离散傅里叶变换-DFT

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），是当有 ${N}$ 个信号采样点，且采样间隔为 ${T}$ 时候的傅里叶变换。
实际信号不可能无限长，所以采样点只有有限个。
傅里叶变换中，离散与周期相对应。有限个离散采样点做傅里叶变换（即DTFT，离散时间傅里叶变换）得到的是连续且有周期性（周期为 ${2\pi}$ ）的频谱。
如果我们把已有的采样点不断重复，就得到了时域上离散且有周期性的函数，这样傅里叶变换的频谱也是离散且有周期性的。
这种将已有采样点延拓成周期信号做傅里叶变换的方法即为DFT。
在这里插入图片描述
时域中的一个周期与频域中的一个周期相对应。时域中一个周期包含所有采样点。
显然，DFT时域与频域一个周期中离散点的个数是有限的，于是可以用计算机进行运算。
设有连续信号 ${f(t)}$ ，和 ${N}$ 个采样点 $\cdots ,f[N-1]}$ ，连续信号的傅里叶变换为：
$\omega ) \stackrel{\text{ FT }}{=} \int_{ -\infty }^{ \infty } f(t) e^{-j \omega t} \mathrm dt$
我们认为每个采样点 ${f[n]}$ 都是一个冲激函数，相加得到采样后的 ${f(t)}$ ，将采样后的 ${f(t)}$ 代入上式就得到了DTFT的公式，积分仅在冲激函数处存在：
$\begin{align*} F(j \omega ) \stackrel{\text{ DTFT }}{=} & \int_{ 0 }^{ (N-1)T } f(t) e^{-j \omega t} \mathrm dt \,\,,\,\, t=nT \\ \\ =&f[0] e^{-j0}+f[1]e^{-j \omega T}+f[2]e^{-j \omega 2T}+ \cdots +f[N-1]e^{-j \omega (N-1)T} \\ \\ =& \sum_{n=0}^{ N-1} f[n]e^{-j \omega nT} \end{align*}$
DTFT的频谱是连续的，我们将时域的离散信号延拓成周期离散信号，可以得到离散且有周期性的频谱。
由于频谱有周期性，我们只观察离散频谱的第一个周期，其中离散点为：
$\omega =0 , \frac{2\pi}{NT} , \frac{2\pi}{NT}\times 2 , \cdots , \frac{2\pi}{NT} \times k , \cdots , \frac{2\pi}{NT}\times (N-1)$
于是我们得到DFT的公式：
$\stackrel{\text{ DFT }}{=} \sum_{n=0}^{ N-1} f[n]e^{-j \frac{\large 2\pi}{\large N} kn} \,\,,\,\, k=0,1, \cdots ,N-1$
${N-1}$ 个离散采样点 ${f[n]}$ ，通过DFT可以得到 ${N-1}$ 个离散点构成的频谱 ${F[k]}$ 。如果令
$W=e^{-j\frac{\large 2\pi}{\large N}}$
则有：
$\stackrel{\text{ DFT }}{=} \sum_{n=0}^{ N-1} f[n]W^{ kn} \,\,,\,\, k=0,1, \cdots ,N-1$
$W^{Nn}=e^{-j2n\pi}=\cos(-2n\pi)+j\sin(-2n\pi)=1 \,\,,\,\, n=0,1, \cdots ,N-1$
DTF可以写成矩阵形式：
$\begin{bmatrix} F[0]\\ F[1]\\ F[2]\\ \vdots \\ F[k]\\ \vdots \\ F[N-1] \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&1&1&1& \cdots &1\\ 1&W&W^2&W^3& \cdots & W^{N-1}\\ 1&W^2&W^4&W^6& \cdots & W^{2(N-1)}\\ 1&W^3&W^6&W^9& \cdots & W^{3(N-1)}\\ \vdots \\ 1&W^{k}&W^{2k}&W^{3k}& \cdots & W^{k(N-1)}\\ \vdots \\ 1&W^{N-1}&W^{2(N-1)}&W^{3(N-1)}& \cdots & W^{(N-1)(N-1)}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f[0]\\ f[1]\\ f[2]\\ \vdots \\ f[n]\\ \vdots \\ f[N-1] \end{bmatrix}$

[!example]-
对 ${f(t)=5+2\cos(2\pi t-90°)+3\cos(4\pi t)}$

设有4个离散的采样点，采样间隔 ${0.25s}$ ，采样周期正好为 ${1s}$
$\,\,,\,\, N=4$
则DTF矩阵可以写成：
$\begin{bmatrix} F[0]\\F[1]\\F[2]\\F[3] \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -j & -1 & j \\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & j & -1 & -j \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f[0]\\f[1]\\f[2]\\f[3] \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 20\\-4j\\12\\4j \end{bmatrix}$
频谱取幅值，我们可以得到4个离散的频谱
$∣ F [0] ∣ = 20, ∣ F [1] ∣ = 4, ∣ F [2] ∣ = 12, ∣ F [3] ∣ = 4$

2. 离散傅里叶反变换-IDFT

对DFT
$\stackrel{\text{ DFT }}{=} \sum_{n=0}^{ N-1} f[n]e^{-j \frac{\large 2\pi}{\large N} kn} \,\,,\,\, k=0,1, \cdots ,N-1$
其反变换（Inverse Discrete Fourier Transform）为：
$\stackrel{\text{ IDFT }}{=} \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{ N-1}F[k]e^{j\frac{\large 2\pi}{\large N} kn} \,\,,\,\, n=0,1, \cdots ,N-1$
DFT的输出为复数，IDFT的输出为实数。由于

DTFT的幅度频谱的周期为 ${2\pi}$ ，且实数信号的频谱共轭对称（幅度为偶函数）
DTFT的连续频谱为DFT离散频谱的包络线

所以DFT在第一个周期内的频谱（ ${[0,2\pi]}$ 内的离散点）关于 ${N/2}$ 共轭对称。
对于基频比较大的离散信号点组，按理说其频谱应该是有一个幅度较大的基频，还有一些幅度较小的谐波分量。但由于DFT的结果关于 ${N/2}$ 共轭对称，会有另一个跟基频幅值一样的角频率在第一个频谱周期中出现。显然将第一个频谱周期当作DFT的结果是不合理的，对于第一个频谱周期，从 ${N/2}$ 往后的离散点都属于“混叠频率”，只有 ${0}$ 到 ${N/2}$ 的离散点才会被考虑为合理的频谱。
从IDFT的公式来看，共轭对称的离散频谱 ${F[k]}$ 与 ${F[N-k]}$ 对信号点 ${f[n]}$ 的贡献为：
$f_k[n]= \frac{1}{N} \lbrace F[k]e^{j\frac{\large 2\pi}{\large N} kn}+F[N-k]e^{j\frac{\large 2\pi}{\large N} (N-k)n} \rbrace$
由于
$\sum_{k=0}^{ N-1}f[n]e^{-j\frac{\large 2\pi}{\large N} (N-k)n}$
$e^{-j\frac{\large 2\pi}{\large N} (N-k)n}=e^{-j2\pi n}e^{j\frac{\large 2\pi}{\large N} kn}=e^{j\frac{\large 2\pi}{\large N} kn}$
所以 ${F[N-k]}$ 为 ${F[k]}$ 的共轭转置，记为
$F[N-k]=F ^{*} [k]$
所以
$\begin{align*} f_k[n]=& \frac{1}{N} \lbrace F[k]e^{j\frac{\large 2\pi}{\large N} kn}+F ^{*} [k]e^{j\frac{\large 2\pi}{\large N} (N-k)n} \rbrace \,\,,\,\, e^{j2\pi n}=1 \\ \\ =& \frac{2}{N} \lbrace \Re [F[k]] \cos(\frac{2\pi}{N}kn)-\Im [ F [k]]\sin(\frac{2\pi}{N}kn) \rbrace \\ \\ =& \frac{2}{N} |F[k]| \cos \bigg( (\frac{2\pi}{NT}k)nT +\arg(F[k]) \bigg) \end{align*}$
相当于采样之后的一个角频率为 ${2\pi k/NT}$ ，幅值为 ${2|F[k]|/N}$ 的正弦波，在连续时间下即为 ${k}$ 次谐波。
DFT的有效频谱频率范围在 ${[0,\pi]}$ ，即DFT输出的各次谐波频率为
$\omega =0 , \frac{2\pi}{NT} , \frac{2\pi}{NT}\times 2 , \cdots , \frac{2\pi}{NT} \times k , \cdots , \frac{2\pi}{NT}\times \frac{N}{2}$
真实的谐波频率为
$\omega _{real}= \omega \cdot \frac{N}{T_p}$
${T_p}$ 为时间序列的真实周期时间。 ${N}$ 越大，DFT能输出的有效频率范围也越大。
仍以前面举出的例子为例

[!example]-

${F[0]=20}$ 表示直流分量为 ${F[0]/N=20/4=5}$
${F[1]=-4j=F ^{*} [3]}$ 表示采样的基频幅值为 ${2|F[1]|/N=2}$ ，相位 ${-90°}$
$2\cos(\frac{2\pi}{NT}nT-90°)=2\cos(\frac{\pi}{2}n-90°)$
${F[2]=12}$ 表示采样的二次频谐波如下
$f_2[n]= \frac{1}{N}F[2]e^{j\frac{\large 2\pi}{\large N}2n}=3\cos(\pi n)$

在实际应用中， ${N}$ 必须大于 ${4}$ 。 对 ${N=1024}$ ，会有 ${1024}$ 个离散频率点， ${F[k]}$ 有 ${1024}$ 个，但第 ${513}$ 到第 ${1023}$ 个点是 ${511}$ 到第 ${1}$ 个采样点的共轭转置， ${F[0]/1024}$ 是直流分量， ${2|F[1]|/1024}$ 到 ${2|F[511]|/1024}$ 是交流分量的幅值， ${1|F[512]|/1024}$ 是一个cosine-only的分量的幅值，且在最高分辨频率点（ ${k=N/2}$ ）上。

3. DFT的误差

DFT在已有的采样点上能够多大程度近似傅里叶变换？显然DFT只是一个近似，因为它只提供了有限个频率点。但这些离散频率点有多正确？
DFT有两种误差，混叠（aliasing）与“泄漏（leakage）”。
混叠之前说过了，如果采样点过少（采样间隔太大），最高分辨频率点就会过小，会出现混叠。解决的方法是增加采样率，或者提前对信号进行滤波，去掉高次谐波。网上还说了一种方法就是补上一段值为 ${0}$ 的信号，也相当于增加了采样点。
泄漏，或者说拖尾效应，就是在做DFT时候时域信号并不是某个周期信号的整数倍，比如如果输入信号是正弦信号的 ${1.25}$ 个周期，那在对DFT时候实际上是将 ${1.25}$ 个周期的正弦信号做为DFT的信号周期，这样延拓出的周期信号就有很大的不连续性，会导致频谱存在谐波。如图
请添加图片描述
解决方案是使用我们在设计FIR滤波器时遇到的窗口函数之一（例如Hamming或Hanning窗口）。这些窗函数使采样信号在两个端点处逐渐变细为零值，因此与假设的下一个周期不存在不连续性（在Hanning窗的情况下，不存在非常小的不连续性）。泄漏的现象也会减小。