刷题
121.买卖股票的最佳时机
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题目：给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
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示例 1：
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输入：[7,1,5,3,6,4]
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输出：5 解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
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示例 2：
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输入：prices = [7,6,4,3,1]
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输出：0 解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
思路及实现
动规五部曲分析如下：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] [0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？
其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。
dp[i] [1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态
很多同学把“持有”和“买入”没区分清楚。
在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。
2.确定递推公式
如果第i天持有股票即dp[i] [0]， 那么可以由两个状态推出来
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第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1] [0]
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第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]
那么dp[i] [0]应该选所得现金最大的，所以dp[i] [0] = max(dp[i - 1] [0], -prices[i]);
如果第i天不持有股票即dp[i] [1]， 也可以由两个状态推出来
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第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1] [1]
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第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1] [0]
同样dp[i] [1]取最大的，dp[i] [1] = max(dp[i - 1] [1], prices[i] + dp[i - 1] [0]);
这样递推公式我们就分析完了
3.dp数组如何初始化
由递推公式 dp[i] [0] = max(dp[i - 1] [0], -prices[i]); 和 dp[i] [1] = max(dp[i - 1] [1], prices[i] + dp[i - 1] [0]);可以看出
其基础都是要从dp[0] [0]和dp[0] [1]推导出来。
那么dp[0] [0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0] [0] -= prices[0];
dp[0] [1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0] [1] = 0;
4.确定遍历顺序
从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。
5.举例推导dp数组
以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：
dp[5] [1]就是最终结果。
为什么不是dp[5] [0]呢？
因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！
以上分析完毕，代码如下：
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
int length = prices.length;
// dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
// dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益
int[][] dp = new int[length][2];
int result = 0;
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for (int i = 1; i < length; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
}
return dp[length - 1][1];
}
}
122.买卖股票的最佳时机Ⅱ
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题目：给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
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示例 1:
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输入: [7,1,5,3,6,4]
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输出: 7 解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
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示例 2:
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输入: [1,2,3,4,5]
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输出: 4 解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
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示例 3:
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输入: [7,6,4,3,1]
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输出: 0 解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
提示：
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1 <= prices.length <= 3 * 10 ^ 4
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0 <= prices[i] <= 10 ^ 4
思路及实现
dp数组的含义：
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dp[i] [0] 表示第i天持有股票所得现金。
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dp[i] [1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
如果第i天持有股票即dp[i] [0]， 那么可以由两个状态推出来
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第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1] [0]
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第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1] [1] - prices[i]
本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。
那么第i天持有股票即dp[i] [0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1] [1] - prices[i]。
再来看看如果第i天不持有股票即dpi的情况， 依然可以由两个状态推出来
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第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1] [1]
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第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1] [0]
本题和121. 买卖股票的最佳时机 的代码几乎一样，唯一的区别在：
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
这正是因为本题的股票可以买卖多次！ 所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1] [1]，所以dp[i - 1] [1] - prices[i]。
代码如下：
class Solution
// 实现1：二维数组存储
// 可以将每天持有与否的情况分别用 dp[i][0] 和 dp[i][1] 来进行存储
// 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2]; // 创建二维数组存储状态
dp[0][0] = 0; // 初始状态
dp[0][1] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; ++i) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]); // 第 i 天，没有股票
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]); // 第 i 天，持有股票
}
return dp[n - 1][0]; // 卖出股票收益高于持有股票收益，因此取[0]
}
}
