最大公因数，最小公倍数详解

news2024/11/24 22:37:55

前言
对于初学编程的小伙伴们肯定经常遇见此类问题，而且为之头疼，今天我来给大家分享一下，最大公因数和最小公倍数的求法。让我们开始吧！
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文章目录

1，最大公因数
- 法1
- 法2
- 法3
2，最小公倍数
3，尾声

1，最大公因数

首先提起最大公因数大家最先想到的就是辗转相除法。
假如求a，b的最大公因数x。其中a>b。a可以表示为nb+t,那么t=a-nb,因为x是a和b的公因数，将等式两边同时除以x得，t/x=a/x-n*b/x,那么我肯可以知道t/x是个整数，所以x是a和a%b的公因数，那么我们可知那么x也是b和a%b的公因数。所以a和b的最大公约数和b和a%b的最大公约数是一样的。那么我们就可以使用循环的方法求出最大公因数如下：

法1

#include<stdio.h>
int gcd(int a, int b)
{
	if (a > b)//判断大小事大数除以小数
	{
		int temp = a;
		a = b;
		b = temp;
	}
	while (a % b)//辗转相除
	{
		int temp = a;
		a = b;
		b = temp%b;
	}
}
int main()
{
	int a, b;
	scanf("%d %d", &a, &b);
	int ans = gcd(a,b);
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

那么这样写有点麻烦，我们可以直接使用递归的方法解决而且速度更快。

法2

#include<stdio.h>
int gcd(int a, int b)
{
	if (a == 0)//当a为0时，b为最大公因数
		return b;
	return gcd(b, a%b);
}
int main()
{
	int a, b;
	scanf("%d %d", &a, &b);
	int ans = gcd(a,b);
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

那么有没有更快的方法呢？当然有！我们都知道位运算的速度比除法运算快的多，那么我肯可以吧代码改成这样。

法3

#include<stdio.h>
int gcd(int a, int b)
{
	while (b ^= a ^= b ^= a %= b);//连等式是从右往左计算的，我们要知道a^a=0,a^0=a。那么连等式就可以等同于gcd（b,a%b）
	return a;
}
int main()
{
	int a, b;
	scanf("%d %d", &a, &b);
	int ans = gcd(a,b);
	printf("%d", ans);
	return 0;
}