二叉堆
需求分析
Top K 问题
什么是 Top K 问题？
从海量数据中找出前 K 个数据。
- 比如：从 100 万个整数中找出最大的 100 个整数
- Top K 问题的解法之一：可以用数据结构 “堆” 来解决。
堆
堆是一种【完全二叉树】，可以分为【最大堆】和【最小堆】。只要是堆，里面的元素就会具备可比较性。
- 在最大堆中，父节点的值大于等于(
>=)其子节点的值； - 在最小堆中，父节点的值小于等于(
<=)其子节点的值。
堆的基本接口设计
public interface Heap<E> {
int size(); // 元素的数量
boolean isEmpty(); // 是否为空
void clear(); // 清空
void add(E element); // 添加元素
E get(); // 获得堆顶元素
E remove(); // 删除堆顶元素
E replace(E element); // 删除堆顶元素的同时插入一个新元素
}
二叉堆(Binary Heap)
着重注意索引的规律
floor（向下取整）：只取前面的整数。
最大堆
添加
思路
一步步往上与父节点比较，并进行位置交换。
交换位置的优化
一般交换位置需要 3 行代码，可以进一步优化
- 将新添加节点备份，确定最终位置才摆放上去
- 循环比较，交换父节点位置 -> 循环比较，单纯父节点下移，最后确定位置了直接覆盖
- 省去了每次都交换位置并且覆盖的操作
实现
@Override
public void add(E element) {
elementNotNullCheck(element);
ensureCapacity(size + 1);
elements[size++] = element;
siftUp(size - 1);
}
private void elementNotNullCheck(E element) {
if (element == null) {
throw new IllegalArgumentException("element must not be null");
}
}
private void ensureCapacity(int capacity) {
int oldCapacity = elements.length;
if (oldCapacity >= capacity) {
return;
}
// 新容量为旧容量的1.5倍
int newCapacity = oldCapacity + (oldCapacity >> 1);
E[] newElements = (E[]) new Object[newCapacity];
for (int i = 0; i < size; i++) {
newElements[i] = elements[i];
}
elements = newElements;
}
/**
* 让index位置的元素上滤
* @param index
*/
private void siftUp(int index) {
// E e = elements[index];
// while (index > 0) {
// int pindex = (index - 1) >> 1;
// E p = elements[pindex];
// if (compare(e, p) <= 0) return;
//
// // 交换index、pindex位置的内容
// E tmp = elements[index];
// elements[index] = elements[pindex];
// elements[pindex] = tmp;
//
// // 重新赋值index
// index = pindex;
// }
E element = elements[index];
while (index > 0) {
int parentIndex = (index - 1) >> 1;
E parent = elements[parentIndex];
if (compare(element, parent) <= 0) {
break;
}
// 将父元素存储在index位置
elements[index] = parent;
// 重新赋值index
index = parentIndex;
}
elements[index] = element;
}
删除
思路
一般来说，如果我们要删除某个元素的话，我们通常会拿到最后一个元素先覆盖它的位置，然后再把最后一个元素删掉，相当于同学们直接将 43 的值覆盖掉 0 这个位置的值，要再把这个值清空。
为什么？
因为这个操作是 O(1) 级别的，删除最后一个元素。
具体流程如下图所示：
流程图解
实现
@Override
public E remove() {
emptyCheck();
int lastIndex = --size;
E root = elements[0];
elements[0] = elements[lastIndex];
elements[lastIndex] = null;
siftDown(0);
return root;
}
/**
* 让index位置的元素下滤
* @param index
*/
private void siftDown(int index) {
E element = elements[index];
int half = size >> 1;
// 第一个叶子节点的索引 == 非叶子节点的数量
// index < 第一个叶子节点的索引
// 必须保证index位置是非叶子节点
while (index < half) {
// index的节点有2种情况
// 1.只有左子节点
// 2.同时有左右子节点
// 默认为左子节点跟它进行比较
int childIndex = (index << 1) + 1;
E child = elements[childIndex];
// 右子节点
int rightIndex = childIndex + 1;
// 选出左右子节点最大的那个
if (rightIndex < size && compare(elements[rightIndex], child) > 0) {
child = elements[childIndex = rightIndex];
}
if (compare(element, child) >= 0) {
break;
}
// 将子节点存放到index位置
elements[index] = child;
// 重新设置index
index = childIndex;
}
elements[index] = element;
}
replace
接口：删除堆顶元素的同时插入一个新元素。
@Override
public E replace(E element) {
elementNotNullCheck(element);
E root = null;
if (size == 0) {
elements[0] = element;
size++;
} else {
root = elements[0];
elements[0] = element;
siftDown(0);
}
return root;
}
批量建堆
批量建堆，有 2 种做法
- 自上而下的上滤 – 本质是添加
- 自下而上的下滤 – 本质是删除
注意：【自上而下的下滤】和【自下而上的上滤】不可以批量建堆，因为执行起来对整体来说没有什么贡献，依然还是乱的。
自上而下的上滤
自下而上的下滤
效率对比
- 如下图所示，显然是【自下而上的下滤】效率更高。
- 可把图中蓝色部分看作是节点数量，箭头直线看作是工作量。
- 最下层的节点最多，这一部分在【自下而上的下滤】中的工作量较小。
复杂度计算
深度之和 vs 高度之和
公式推导
实现
1、修改构造函数
public BinaryHeap(E[] elements, Comparator<E> comparator) {
super(comparator);
if (elements == null || elements.length == 0) {
this.elements = (E[]) new Object[DEFAULT_CAPACITY];
} else {
size = elements.length;
// this.elements = elements // 不能这么写，因为不安全
int capacity = Math.max(elements.length, DEFAULT_CAPACITY);
this.elements = (E[]) new Object[capacity];
for (int i = 0; i < elements.length; i++) {
this.elements[i] = elements[i];
}
// 批量建堆
heapify();
}
}
解释：
this.elements = elements 会导致外部传进来的数组和堆内的数组挂钩，如果后续修改了外包数组的元素值，会影响批量建堆的输出。
2、批量建堆方法编写
/**
* 批量建堆
*/
private void heapify() {
// 自上而下的上滤
// for (int i = 1; i < size; i++) {
// siftUp(i);
// }
// 自下而上的下滤
for (int i = (size >> 1) - 1; i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
完整代码
/**
* 二叉堆（最大堆）
*/
@SuppressWarnings("unchecked")
public class BinaryHeap<E> extends AbstractHeap<E> implements BinaryTreeInfo {
private E[] elements;
private static final int DEFAULT_CAPACITY = 10;
public BinaryHeap(E[] elements, Comparator<E> comparator) {
super(comparator);
if (elements == null || elements.length == 0) {
this.elements = (E[]) new Object[DEFAULT_CAPACITY];
} else {
size = elements.length;
int capacity = Math.max(elements.length, DEFAULT_CAPACITY);
this.elements = (E[]) new Object[capacity];
for (int i = 0; i < elements.length; i++) {
this.elements[i] = elements[i];
}
heapify();
}
}
public BinaryHeap(E[] elements) {
this(elements, null);
}
public BinaryHeap(Comparator<E> comparator) {
this(null, comparator);
}
public BinaryHeap() {
this(null, null);
}
@Override
public void clear() {
for (int i = 0; i < size; i++) {
elements[i] = null;
}
size = 0;
}
@Override
public void add(E element) {
elementNotNullCheck(element);
ensureCapacity(size + 1);
elements[size++] = element;
siftUp(size - 1);
}
@Override
public E get() {
emptyCheck();
return elements[0];
}
@Override
public E remove() {
emptyCheck();
int lastIndex = --size;
E root = elements[0];
elements[0] = elements[lastIndex];
elements[lastIndex] = null;
siftDown(0);
return root;
}
@Override
public E replace(E element) {
elementNotNullCheck(element);
E root = null;
if (size == 0) {
elements[0] = element;
size++;
} else {
root = elements[0];
elements[0] = element;
siftDown(0);
}
return root;
}
/**
* 批量建堆
*/
private void heapify() {
// 自上而下的上滤
// for (int i = 1; i < size; i++) {
// siftUp(i);
// }
// 自下而上的下滤
for (int i = (size >> 1) - 1; i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
/**
* 让index位置的元素下滤
* @param index
*/
private void siftDown(int index) {
E element = elements[index];
int half = size >> 1;
// 第一个叶子节点的索引 == 非叶子节点的数量
// index < 第一个叶子节点的索引
// 必须保证index位置是非叶子节点
while (index < half) {
// index的节点有2种情况
// 1.只有左子节点
// 2.同时有左右子节点
// 默认为左子节点跟它进行比较
int childIndex = (index << 1) + 1;
E child = elements[childIndex];
// 右子节点
int rightIndex = childIndex + 1;
// 选出左右子节点最大的那个
if (rightIndex < size && compare(elements[rightIndex], child) > 0) {
child = elements[childIndex = rightIndex];
}
if (compare(element, child) >= 0) {
break;
}
// 将子节点存放到index位置
elements[index] = child;
// 重新设置index
index = childIndex;
}
elements[index] = element;
}
/**
* 让index位置的元素上滤
* @param index
*/
private void siftUp(int index) {
// E e = elements[index];
// while (index > 0) {
// int pindex = (index - 1) >> 1;
// E p = elements[pindex];
// if (compare(e, p) <= 0) return;
//
// // 交换index、pindex位置的内容
// E tmp = elements[index];
// elements[index] = elements[pindex];
// elements[pindex] = tmp;
//
// // 重新赋值index
// index = pindex;
// }
E element = elements[index];
while (index > 0) {
int parentIndex = (index - 1) >> 1;
E parent = elements[parentIndex];
if (compare(element, parent) <= 0) {
break;
}
// 将父元素存储在index位置
elements[index] = parent;
// 重新赋值index
index = parentIndex;
}
elements[index] = element;
}
private void ensureCapacity(int capacity) {
int oldCapacity = elements.length;
if (oldCapacity >= capacity) {
return;
}
// 新容量为旧容量的1.5倍
int newCapacity = oldCapacity + (oldCapacity >> 1);
E[] newElements = (E[]) new Object[newCapacity];
for (int i = 0; i < size; i++) {
newElements[i] = elements[i];
}
elements = newElements;
}
private void emptyCheck() {
if (size == 0) {
throw new IndexOutOfBoundsException("Heap is empty");
}
}
private void elementNotNullCheck(E element) {
if (element == null) {
throw new IllegalArgumentException("element must not be null");
}
}
@Override
public Object root() {
return 0;
}
@Override
public Object left(Object node) {
int index = ((int)node << 1) + 1;
return index >= size ? null : index;
}
@Override
public Object right(Object node) {
int index = ((int)node << 1) + 2;
return index >= size ? null : index;
}
@Override
public Object string(Object node) {
return elements[(int)node];
}
}
最小堆
同样使用最大堆的代码，只需要设置一个倒序比较器即可，将小的数认为比较大放在数组前面。
代码如下：
static void test3() {
Integer[] data = {88, 44, 53, 41, 16, 6, 70, 18, 85, 98, 81, 23, 36, 43, 37};
BinaryHeap<Integer> heap = new BinaryHeap<>(data, new Comparator<Integer>() {
@Override
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
// 将原本【最大堆】中较小的值放前面，就实现了【最小堆】
return o2 - o1;
}
});
BinaryTrees.println(heap);
}
public static void main(String[] args) {
test3();
}
比较器解析
无论是 o1 - o2 还是 o2 - o1
- 只要返回正整数，就表示
o1应该在o2的右边。 - 而返回负整数则表示
o1应该在o2的左边。
示例说明：
1、向数组中加入 20，Integer[] data = {10, 20}
o1 - o2 = -10 – 10, 20
o2 - o1 = 10 – 20, 10
2、再向数组中加入 30，Integer[] data ={10, 20, 30}
o1 - o2：
- 10 - 30 = -20 – 10, 30, 20
- 20 - 30 = -10 – 【10, 20, 30】
o2 - o1：
- 30 - 10 = 20 – 30, 10
- 20 - 10 = 10 – 【30, 20, 10】
总结
无论是升序还是降序，只要返回正整数，就表示第一个元素应该在第二个元素的右边。
Top K 问题
问题分析
题目：从 n 个整数中，找出最大的前 k 个数 (k 远远小于 n)
-
如果使用【排序算法】进行全排序，需要 O(nlogn) 的时间复杂度。
-
如果使用【二叉堆】来解决，可以使用 O(nlogk) 的时间复杂度来解决
- 新建一个小顶堆
- 扫描 n 个整数
具体细节：
- 先将遍历到的前 k 个数放入堆中；
- 从第 k + 1 个数开始，如果大于堆顶元素，就使用
replace操作(删除堆顶元素，将第 k + 1 个数添加到堆中)
代码实现
static void test4() {
// 新建一个小顶堆
BinaryHeap<Integer> heap = new BinaryHeap<>(new Comparator<Integer>() {
@Override
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o2 - o1;
}
});
// 找出最大的前k个数
int k = 3;
Integer[] data = {51, 30, 39, 92, 74, 25, 16, 93,
91, 19, 54, 47, 73, 62, 76, 63, 35, 18,
90, 6, 65, 49, 3, 26, 61, 21, 48};
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
if (heap.size() < k) { // 前k个数添加到小顶堆
heap.add(data[i]); // logk
} else if (data[i] > heap.get()) { // 如果是第k + 1个数，并且大于堆顶元素
heap.replace(data[i]); // logk
}
}
// O(nlogk)
BinaryTrees.println(heap);
}
public static void main(String[] args) {
test4();
}
内部方法分析
1、heap.get() 获取堆顶元素
@Override
public E get() {
emptyCheck();
return elements[0];
}
2、heap.replace(data[i]);
删除堆顶元素的同时插入一个新元素，即将大于堆顶的数组元素加进去。
3、这是个最小堆
堆顶元素一直是最小的。
问题 2
如果是找出最小的前 k 个数呢？
- 用大顶堆
- 如果小于堆顶元素，就使用
replace操作
堆排序
概念
堆排序（Heap Sort）是一种基于堆数据结构的排序算法，它利用了堆的特性来进行排序。
堆排序的基本思想如下：
- 构建最大堆（或最小堆）：将待排序的数组构建成一个最大堆（或最小堆）。
- 交换堆顶元素：将堆顶元素与当前未排序部分的最后一个元素交换位置。
- 调整堆：对交换后的堆进行调整，使其满足最大堆（或最小堆）的性质。
- 重复步骤 2 和 3，直到整个数组排序完成。
代码示例
以下是两个简单的堆排序示例代码：
第一种 – 降序
public class Main2 {
public static void main(String[] args) {
Integer[] arr = { 12, 11, 13, 5, 6, 7 };
BinaryHeap<Integer> heap = new BinaryHeap<>(arr);
heapSort(heap);
}
public static <E> void heapSort(BinaryHeap<E> heap) {
int size = heap.size();
for (int i = 0; i < size; i++) {
// 删除后会再调整堆结构
E max = heap.remove();
System.out.print(max + " ");
}
}
}
输出结果为：
13 12 11 7 6 5
第二种 – 升序
public class HeapSort {
public static void heapSort(Integer[] arr) {
int n = arr.length;
// 构建最大堆
for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
heapify(arr, n, i);
}
// 交换堆顶元素和未排序部分的最后一个元素，并调整堆
for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
// 将堆顶元素与当前未排序部分的最后一个元素交换位置
int temp = arr[0];
arr[0] = arr[i];
arr[i] = temp;
// 调整堆
heapify(arr, i, 0);
}
}
// 调整堆，使其满足最大堆的性质
public static void heapify(Integer[] arr, int n, int i) {
int largest = i; // 初始化堆顶元素为最大值
int left = 2 * i + 1; // 左子节点的索引
int right = 2 * i + 2; // 右子节点的索引
// 判断左子节点是否大于堆顶元素
if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {
largest = left;
}
// 判断右子节点是否大于堆顶元素
if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {
largest = right;
}
// 如果堆顶元素不是最大值，则交换堆顶元素和最大值，并继续调整堆
if (largest != i) {
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[largest];
arr[largest] = temp;
heapify(arr, n, largest);
}
}
public static void main(String[] args) {
Integer[] arr = { 12, 11, 13, 5, 6, 7 };
System.out.println("原始数组：");
for (int num : arr) {
System.out.print(num + " ");
}
System.out.println("\n------------------------");
BinaryHeap<Integer> heap = new BinaryHeap<>(arr);
BinaryTrees.println(heap);
System.out.println("==========================");
heapSort(arr);
System.out.println("\n排序后的数组：");
for (int num : arr) {
System.out.print(num + " ");
}
System.out.println("\n------------------------");
BinaryHeap<Integer> heap2 = new BinaryHeap<>(arr);
BinaryTrees.println(heap2);
}
}
输出结果为：
原始数组：
12 11 13 5 6 7
------------------------
┌──13─┐
│ │
┌─11─┐ ┌─12
│ │ │
5 6 7
==========================
排序后的数组：
5 6 7 11 12 13
------------------------
┌──13─┐
│ │
┌─12─┐ ┌─7
│ │ │
11 6 5
注意：
以下这个方法是会对【原数组】的值改变的，heapSort 方法会直接修改原始数组。这意味着在排序之后，原始数组的顺序会被改变。
如果你希望保持原始数组的不变，并在排序后得到一个新的已排序副本，可以使用以下方法：
// 在进行堆排序之前，创建一个原始数组的副本。
Integer[] arr = { 12, 11, 13, 5, 6, 7 };
Integer[] arrCopy = Arrays.copyOf(arr, arr.length);
空间复杂度能否下降至 O(1)?
在当前的实现中，二叉堆的空间复杂度是 O(n)，其中 n 是元素的数量。这是因为我们使用一个数组来存储堆的元素。
-
要将空间复杂度降低到 O(1)，我们需要修改数据结构的实现方式。
-
目前的实现方式(
BinaryHeap<E>)是使用一个动态数组来存储元素，但这会占用 O(n) 的额外空间。
如果要将空间复杂度降低到 O(1)，我们可以考虑使用原始的输入数组来表示堆，而不是创建一个额外的数组。这意味着我们需要在原始数组上进行堆操作，而不是将元素复制到新的数组中。（比如上面写的第二种代码示例）
但是，这样做会对原始数组进行修改，并且在堆操作期间可能会打乱原始数组的顺序。因此，在实际应用中，这种修改可能会有限制，并且需要权衡空间和时间的复杂度。
总结起来，要将空间复杂度降低到 O(1)，需要在原始数组上进行操作，但这可能会对原始数组造成修改，并可能会有限制和权衡。具体的实现方式取决于具体的应用场景和需求。
示例代码分析
第一种示例方法复杂度解析
空间复杂度：
如果输入的元素个数为 n，且 n 大于 10，那么空间复杂度为 O(n)；否则，空间复杂度为 O(1)。
所以最坏空间复杂度为 O(n)。
时间复杂度：
- 构建二叉堆的过程具有 O(n) 的时间复杂度，其中 n 是输入数组的长度。
- 接下来，进行 n 次删除操作，每次删除操作的时间复杂度为 O(logn)。由于删除操作会调整堆的结构，保持最大堆的性质，因此每次删除操作的时间复杂度为O(logn)。
- 因此，总体上，堆排序的时间复杂度为 O(nlogn)。
第二种示例方法复杂度解析
空间复杂度：
- 在
heapSort方法中，除了输入数组之外，没有使用额外的空间。因此，空间复杂度为 O(1)，即常数级别的空间复杂度。
时间复杂度：
-
构建最大堆的过程具有 O(n) 的时间复杂度，其中 n 是输入数组的长度。
-
接下来，进行 n-1 次堆调整和交换操作，每次操作的时间复杂度为 O(logn)。
-
因此，总体上，堆排序的时间复杂度为 O(nlogn)。
*。 -
目前的实现方式(
BinaryHeap<E>)是使用一个动态数组来存储元素，但这会占用 O(n) 的额外空间。
如果要将空间复杂度降低到 O(1)，我们可以考虑使用原始的输入数组来表示堆，而不是创建一个额外的数组。这意味着我们需要在原始数组上进行堆操作，而不是将元素复制到新的数组中。（比如上面写的第二种代码示例）
但是，这样做会对原始数组进行修改，并且在堆操作期间可能会打乱原始数组的顺序。因此，在实际应用中，这种修改可能会有限制，并且需要权衡空间和时间的复杂度。
总结起来，要将空间复杂度降低到 O(1)，需要在原始数组上进行操作，但这可能会对原始数组造成修改，并可能会有限制和权衡。具体的实现方式取决于具体的应用场景和需求。
示例代码分析
第一种示例方法复杂度解析
空间复杂度：
如果输入的元素个数为 n，且 n 大于 10，那么空间复杂度为 O(n)；否则，空间复杂度为 O(1)。
所以最坏空间复杂度为 O(n)。
时间复杂度：
- 构建二叉堆的过程具有 O(n) 的时间复杂度，其中 n 是输入数组的长度。
- 接下来，进行 n 次删除操作，每次删除操作的时间复杂度为 O(logn)。由于删除操作会调整堆的结构，保持最大堆的性质，因此每次删除操作的时间复杂度为O(logn)。
- 因此，总体上，堆排序的时间复杂度为 O(nlogn)。
第二种示例方法复杂度解析
空间复杂度：
- 在
heapSort方法中，除了输入数组之外，没有使用额外的空间。因此，空间复杂度为 O(1)，即常数级别的空间复杂度。
时间复杂度：
- 构建最大堆的过程具有 O(n) 的时间复杂度，其中 n 是输入数组的长度。
- 接下来，进行 n-1 次堆调整和交换操作，每次操作的时间复杂度为 O(logn)。
- 因此，总体上，堆排序的时间复杂度为 O(nlogn)。
