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本文参考：
B站：DR_CAN

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1. 定义

$$A\vec{v}=\lambda \vec{v}$$
对于给定线性变换 $A$，特征向量eigenvector $\vec{v}$ 在此变换后仍与原来的方向共线，但长度可能会发生改变，其中 $\lambda$ 为标量，即缩放比例，称其为特征值eigenvalue

1.1 线性变换

1.2 求解特征值，特征向量

$$A\vec{v}=\lambda \vec{v}\Rightarrow \left(A-\lambda E\right)\vec{v}=0\Rightarrow \left|A-\lambda E\right|=0$$

1.3 应用：对角化矩阵——解耦Decouple

$P=\left[{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2\right]$—— coordinate transformation matrix

$$\begin{gathered} AP=A\left[\begin{array}{cc}{\vec{v}}_1& {\vec{v}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A\left[\begin{array}{c}{v}_{11}\\ v_{12}\end{array}\right]& A\left[\begin{array}{c}{v}_{21}\\ v_{22}\end{array}\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1{v}_{11}& {\lambda }_2{v}_{21}\\ {\lambda }_1{v}_{12}& {\lambda }_2{v}_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{v}_{11}& v_{21}\\ v_{12}& v_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]=P\Lambda \\ \Rightarrow AP=P\Lambda \Rightarrow P^{-1}AP=\Lambda \end{gathered}$$

• 微分方程组 state-space rep
  

2. Summary

1. $A\vec{v}=\lambda \vec{v}$ 在一条直线上
2. 求解方法： $\left|A-\lambda E\right|=0$
3. $P^{-1}AP=\Lambda ,P=\left[\begin{array}{ccc}{\vec{v}}_1& {\vec{v}}_2& \cdots \end{array}\right],\Lambda =\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & \ddots \end{array}\right]$
4. $\dot{x}=Ax,x=Py,\dot{y}=\Lambda y$