n皇后问题的最优解

时间复杂度    

package algorithm;

public class NQueen {
    public static int num(int n){
        if(n < 1){
            return 0;
        }
        int[] record = new int[n];//n皇后的n*n的棋盘，record[i]表示第i行的皇后放在了第几列
        return process(0,record,n);
    }

    /**
     *返回n皇后的摆法
     * i表示从第几行开始，n表示皇后数
     */
    private static int process(int i, int[] record, int n) {
        //如果当前的位置在i行，那么即表示i-1及之前的行的皇后一定是满足条件的，在摆第i行的皇后要满足条件不与之前的皇后共行、共列或共线
        //如果行数来到n，说明已经来到最后，此时即为出现一种摆法
        if(i == n){
            return 1;
        }

        int res = 0;
        //遍历列
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if(isValid(record,i,j)){//判断是否能摆
                record[i] = j;//能摆久记录摆下的皇后的列
                res += process(i+1,record,n);//递归，摆下一行，在下一行依旧遍历所有列
            }
        }
        return res;
    }

    //判断是否共行、共列、共斜线
    //由于record数组的索引存储的就是行数，因此不需要检查是否共行
    private static boolean isValid(int[] record, int i, int j) {
        for (int k = 0; k < i; k++) {
            //检查是否共列、共斜线（纵坐标之差 == 横坐标之差）
            if(j == record[k] || Math.abs(record[k] - j) == Math.abs(i-k)){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

上述最优解在n的值较大的时候跑出来仍是很慢，但无法对此进行结构上的优化，即无法进行时间复杂度的优化，但是可以使用位运算进行常数时间上的优化

优化

条件：不超过32皇后问题，超过32皇后问题需要把int转化为long类型

举个栗子

八皇后问题，n = 8

1位置不能放皇后，0位置可以

第1行	0	0	0	0	1	0	0	0
列限制	0	0	0	0	1	0	0	0
左斜线限制	0	0	0	1	0	0	0	0
右斜线限制	0	0	0	0	0	1	0	0
三个限制求或	0	0	0	1	1	1	0	0
					1
第2行	0	1	0	0	0	0	0	0
第2行+第1行限制	1	1	1	0	1	0	1	0

左斜线限制 = 列数 -  行差（左移）

右斜线限制 = 列数 + 行差（右移）

利用位运算的特性，限制哪些列可以放皇后，而不是每一列都遍历，节省时间

int pos = limit & (~(colLim | leftDiaLim | rightDiaLim));

第一个数表示前面的数，limit即前面都是0，后面8位都是1

limit	0	1	1	1	1	1	1	1	1
列限制	0	0	0	0	0	1	0	0	0
左斜线限制	0	0	0	0	1	0	0	0	0
右斜线限制	0	0	0	0	0	0	1	0	0
三种限制或	0	0	0	0	1	1	1	0	0
~取反	1	1	1	1	0	0	0	1	1
&并limit	0	1	1	1	0	0	0	1	1

为什么要有limit？

因为可以和limit求并截去左侧的所有的数，在最终求得的pos数中，1的位置可以放置皇后，0的位置不可以放置皇后

mostRightOne = pos & (~pos + 1);

pos	0	1	1	1	0	0	0	1	1
~pos	1	0	0	0	1	1	1	0	0
~pos+1	1	0	0	0	1	1	1	0	1
pos&(~pos+1)	0	0	0	0	0	0	0	0	1

package algorithm;

public class NQueenOptimize {
    public static int num(int n) {
        //不超过32皇后问题
        if (n < 1 || n > 32) {
            return 0;
        }
        //生成一个二进制位数，后n位都是1，前面都是0
        //limit数本身的值不重要，只是用它的位信息
        int limit = -1;//n == 32
        if (n != 32) {
            limit = (1 << n) - 1;
        }
        return process(limit, 0, 0, 0);
    }

    /**
     * 1的位置不可以放皇后，0可以
     * colLim: 列的限制
     * leftDiaLim: 左斜线的限制
     * rightDiaLim: 右斜线的限制
     */
    private static int process(int limit, int colLim, int leftDiaLim, int rightDiaLim) {
        //列上的限制 == limit，说明全都放满了，此时即为一种摆法
        if (colLim == limit) {
            return 1;
        }

        /**
         * pos表示所有候选皇后的位置，1的位置可以放皇后，0的位置不可以放皇后
         * (colLim | leftDiaLim | rightDiaLim) 三种限制或
         * ~ 表示取反，此时在棋盘上1表示可以放皇后，0表示不能放皇后
         * & 和limit求与（0和1与为0，1和1与为1）
         */
        int pos = limit & (~(colLim | leftDiaLim | rightDiaLim));

        int res = 0;
        int mostRightOne = 0;
        
        //在每个1的位置上尝试皇后的位置，在尝试之后将值修改为0
        while (pos != 0) {
            mostRightOne = pos & (~pos + 1);
            pos = pos - mostRightOne;
            //左右限制变化
            res += process(limit,
                    colLim | mostRightOne,
                    (leftDiaLim | mostRightOne) << 1,
                    (rightDiaLim | mostRightOne) >> 1);
        }
        return res;
    }

}