1 引入

本文主要介绍多目标优化的基本概念以及NSGA-II。

2 多目标优化

多目标优化的优化目标之间存在一定的冲突，例如一个目标增长，导致另一个减少。因此这里的解是一组解决方案而非唯一的全局解。

通常，我们有以下数学问题：
$$\begin{array}{rlrl}\min /\max :& f_m(\mathbf{x}),& m& =1,2,\dots ,M\\ s.t.:& g_j(\mathbf{x})\ge 0,& j& =1,2,\dots ,J\\ & h_k(\mathbf{x})=0,& k& =1,2,\dots ,K\\ & x_i^{(L)}\le x_i\le x_i^{(U)},& i& =1,2,\dots ,n\end{array}$$一个解是包含$n$个变量的向量：
$$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$$此外，问题屈服于$J$个不等式约束和$K$个等式约束，每一个变量都有一个相应的上界和下界。

满足所有约束且在上下界之间的解被称为可行解。所有可行解的集合被称为可行域 (搜索空间) $S$。目标空间由所有可行解对应的的$M$个目标函数的值构成。

3 更多的定义

3.1 支配

如果条件1和2均满足，则解${\mathbf{x}}^{(1)}$支配解${\mathbf{x}}^{(2)}$：

• 条件1：对于所有的目标函数均有${\mathbf{x}}^{(1)}$不差于${\mathbf{x}}^{(2)}$；
• 条件2：在至少一个目标函数上${\mathbf{x}}^{(1)}$严格优于${\mathbf{x}}^{(2)}$。

${\mathbf{x}}^{(1)}$支配${\mathbf{x}}^{(2)}$的数学表达为：
$${\mathbf{x}}^{(1)}⪯{\mathbf{x}}^{(2)}$$

3.2 非支配集

对于解集$P$，其非支配集是所有不被其他解所支配的解的集合。

3.3 全局Pareto最优集

$S$的非支配集即为全局Pareto最优集。

一个例子是土木工程中的悬臂梁设计：通过改变悬臂梁长度和直径，来最小化挠度和重量。图1展示了相应的目标空间：不同长度和直径下的挠度与重量变化。

图1：挠度与重量

 
该曲线可以很直观地反应全局Pareto最优集中挠度和重量的权衡。

图2：左图为可行的决策变量空间，右图为可行的目标空间

 
在图2中靠近原点的目标空间中，形成的一条曲线即为Pareto最优前沿。非可行解也能生成靠近原点的目标值。Pareto前沿表示可能的最佳权衡。

4 NSGA-II

NSGA-II是一种进化算法。进化算法被开发的原因为：直接或基于梯度的技术在处理非线性和复杂交互时存在以下问题：

• 最优解的收敛依赖于初始解的选择；
• 大多数算法易陷入局部最优。

NSGA-II的理解需要一些前驱知识，可以参照：

1. 遗传算法简介
2. Matlab与遗传算法
3. Pymoo与遗传算法

NSGA-II的特征如下：

1. 精英准则：种群的精英将更可能传递到下一代；
2. 拥挤距离：一种显示的多样性保持机制；
3. 着重非支配解。

算法的步骤如下：

1. 对父代和后代种群的组合进行非支配排序，并按前沿对它们进行分类，即它们根据非支配级别的升序排序：
   

图3：最小化f1、f2。三种前沿级别

2. 根据前面的排序来填充新种群；
3. 如果一个前沿像F3一样部分采取，则执行拥挤排序，密度较小的是首选；
4. 使用拥挤锦标赛选择 (通过前排比较，如果相等则通过拥挤距离比较)、交叉，以及变异算子从这个新种群创建后代种群。

图4：NSGA-II的语义表示