引言

上一节介绍了对$\text{Sigmoid}$信念网络学习任务过程中，对模型参数的对数似然梯度进行求解，并描述了梯度求解过程中的问题。本节将针对该问题介绍醒眠算法。

回顾

$\text{Sigmoid}$信念网络的模型表示

$\text{Sigmoid}$信念网络是一个有向概率图模型。已知一个模型表示如下：

以隐变量$h_i^{(1)}$为例，如果将其作为后验结点，它的条件结点有$h_j^{(2)},h_{j+1}^{(2)}$两个。根据$\text{Sigmoid}$信念网络的定义，关于$h_i^{(1)}$的后验概率表示如下：
$$\mathcal{P}(h_i^{(1)}\mid h_j^{(2)},h_{j+1}^{(2)})=\{\begin{array}{l}\sigma \left({\mathcal{W}}_{j\to i}\cdot h_j^{(2)}+{\mathcal{W}}_{j+1\to i}\cdot h_{j+1}^{(2)}\right)h_i^{(1)}=1\\ 1-\sigma \left({\mathcal{W}}_{j\to i}\cdot h_j^{(2)}+{\mathcal{W}}_{j+1\to i}\cdot h_{j+1}^{(2)}\right)h_i^{(1)}=0\end{array}$$
其中$\sigma$表示$\text{Sigmoid}$函数。仔细观察发现，$\mathcal{P}(h_i^{(1)}=1\mid h_j^{(2)},h_{j+1}^{(2)})$就可以看作是 $h_i^{(1)}$作为入度相关联结点的线性组合后套一层$\text{Sigmoid}$函数。因而可以通过该规律描述所有结点的后验概率：
$$\mathcal{P}(h_i\mid h_j;j\to i)=\{\begin{array}{l}\sigma \left({\sum }_{j\to i}{\mathcal{W}}_{j\to i}\cdot h_j\right)h_i=1\\ 1-\sigma \left({\sum }_{j\to i}{\mathcal{W}}_{j\to i}\cdot h_j\right)h_i=0\end{array}$$
将上述分段结果描述成一个通式，可以表达为：
$$\mathcal{P}(h_i\mid h_j;j\to i)=\sigma \left[(2h_i-1)\sum _{j\to i}{\mathcal{W}}_{j\to i}\cdot h_j\right]$$

$\text{Sigmoid}$信念网络——对数似然梯度求解过程中的问题

与玻尔兹曼机、受限玻尔兹曼机相同，概率图模型中的观测变量均来自 样本集合 V = { v ( i ) } i = 1 N \mathcal V = \{v^{(i)}\}_{i=1}^N V={v(i)}i=1N​。以某一具体样本$v^{(k)}\in \mathcal{V}$为例，在$\text{Sigmoid}$信念网络中的随机变量集合${\mathcal{S}}^{(k)}$表示如下：
S ( k ) = { v ( k ) , h ( k ) } \mathcal S^{(k)} = \{v^{(k)},h^{(k)}\} S(k)={v(k),h(k)}
此时，以某隐变量$h_i^{(k)}$与隐变量$h_j^{(k)}$之间的因果关系为例，其在概率图中的表示如下：$(h_i^{(k)},h_j^{(k)}\in h^{(k)})$
这仅仅是一个示例，概率图中任意一组包含因果关系的随机变量结点均可以进行表示，无论它是观测变量还是隐变量。

对应两隐变量之间 模型参数${\mathcal{W}}_{j\to i}^{(k)}$的对数似然梯度 表示如下：
详细推导过程见$\text{Sigmoid}$信念网络(一)对数似然梯度
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial {\mathcal{W}}_{j\to i}}\left[\sum _{v^{(k)}\in \mathcal{V}}\log \mathcal{P}(v^{(k)})\right]& =\sum _{v^{(k)}\in \mathcal{V}}\sum _{h^{(k)}}\mathcal{P}(h^{(k)}\mid v^{(k)})\cdot \sigma \left[-(2h_i^{(k)}-1)\cdot \sum _{j\to i}{\mathcal{W}}_{j\to i}^{(k)}\cdot h_j^{(k)}\right]\cdot (2h_i^{(k)}-1)\cdot h_j^{(k)}\end{array}$$

通过观察可以发现，关于${\mathcal{W}}_{j\to i}^{(k)}$梯度中包含隐变量的后验概率分布，这个后验分布没有办法直接进行求解。$\text{Neal}$本人针对该后验的求解使用MCMC方法进行处理：
$\text{Explain Away}$现象，本质原因是观测变量与‘和其存在因果关系的’隐变量之间属于$\mathcal{V}$型结构，在给定观测变量(样本)的条件下，对应隐变量之间并不是条件独立关系。
$${\nabla }_{{\mathcal{W}}_{j\to i}^{(k)}}\left[\sum _{v^{(k)}\in \mathcal{V}}\log \mathcal{P}(v^{(k)})\right]=\{\begin{array}{l}{\mathbb{E}}_{{\mathcal{P}}_{data}}\left[\sigma \left(-(2h_i^{(k)}-1)\cdot {\sum }_{j\to i}{\mathcal{W}}_{j\to i}^{(k)}\cdot h_j^{(k)}\right)\cdot (2h_i^{(k)}-1)\cdot h_j^{(k)}\right]\\ {\mathcal{P}}_{data}\Rightarrow {\mathcal{P}}_{data}(v^{(k)}\in \mathcal{V})\cdot {\mathcal{P}}_{model}(h^{(k)}\mid v^{(k)})\end{array}$$

关于MCMC方法求解过程，可能仅能在小规模的随机变量集合中使用，如果随机变量集合规模较大，实际上求解复杂度会呈指数级别增长，并且极难收敛至平稳分布。

醒眠算法

基于平均场假设变分推断求解后验概率

关于后验概率$\mathcal{P}(h^k\mid v^k)$的求解，在玻尔兹曼机——梯度求解过程中介绍了基于平均场理论的变分推断求解方式。其核心思想是：基于平均场理论假设出的近似后验分布$\mathcal{Q}(h^{(k)}\mid v^{(k)})$各个隐变量之间相互独立：
$\mathcal{D}$表示$\text{Sigmoid}$信念网络中隐变量的数量，也可看做隐变量的下标编号。
Q ( h ( k ) ∣ v ( k ) ) = ∏ i = 1 D Q ( h i ( k ) ∣ v ( k ) ) h ( k ) ∈ { 0 , 1 } D \mathcal Q(h^{(k)} \mid v^{(k)}) = \prod_{i=1}^{\mathcal D} \mathcal Q(h_i^{(k)} \mid v^{(k)}) \quad h^{(k)} \in \{0,1\}^{\mathcal D} Q(h(k)∣v(k))=i=1∏D​Q(hi(k)​∣v(k))h(k)∈{0,1}D
而基于平均场理论的近似后验分布$\mathcal{Q}(h^{(k)}\mid v^{(k)})$可以得到一个关于模型参数的迭代关系。从而使用坐标上升法(Coordinate Ascent)，每次固定其他随机变量的信息来更新一个随机变量的模型参数，直到所有模型参数均被更新一次，视作一次迭代；根据不动点方程必收敛的性质，最终必然会得到一个稳定的后验分布结果。

平均场理论求解后验的弊端

即便上面的描述无懈可击，但是平均场理论变分推断的计算过程同样是非常复杂的。假设在迭代若干次后，得到了一个稳定的后验结果，将其带入上式，得到一个梯度结果${\nabla }_{{\mathcal{W}}_{j\to i}^{(k)}}\left[{\sum }_{v^{(k)}\in \mathcal{V}}\log \mathcal{P}(v^{(k)})\right]$。

但仅仅得到一个梯度结果自然是不够的，这个梯度结果同样需要迭代。由于这里求解的是对数似然梯度，使用的策略通常是极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE)。对应的算法通常是梯度上升法。而梯度上升法同样是需要迭代的：
$${\mathcal{W}}_{j\to i}^{(t+1)}={\mathcal{W}}_{j\to i}^{(t)}+\eta {\nabla }_{w_{j\to i}^{(t)}}\left[\sum _{v^{(k)}\in \mathcal{V}}\log \mathcal{P}(v^{(k)})\right]$$
加上平均场理论变分推断的迭代，这明显是一个嵌套循环。复杂度同样是非常高的。

醒眠算法

醒眠算法(Wake-Sleep Algorithm)于$1995$年被提出。该算法的作用在于对近似后验概率$\mathcal{Q}(h^{(i)}\mid v^{(i)})$进行估计，相比于平均场理论的变分推断方法求解效率更高。

醒眠算法关于$\mathcal{Q}(h^{(i)}\mid v^{(i)})$的求解思路在于：它并没有将$\mathcal{Q}(h^{(i)}\mid v^{(i)})$视作一个概率分布，而是将其视作一个函数。从而基于神经网络的函数逼近定理对函数$\mathcal{Q}(h^{(i)}\mid v^{(i)})$进行学习。

很明显，思路性质变了，这将关于$\mathcal{Q}(h^{(i)}\mid v^{(i)})$的近似推断任务 转换成了关于$\mathcal{Q}(h^{(i)}\mid v^{(i)})$函数的学习任务。
该思想就是‘花书’在P397页中提到的‘学成近似推断’。

关于醒眠算法，它提出一个假设作为前提：如果将$\text{Sigmoid}$信念网络中隐变量信息向观测变量传递的过程称作生成过程$\text{(Generative Connection)}$ 的话，假设对应的存在识别过程$\text{(Recognization Connection)}$,也可以称作反馈过程，其意思是从观测变量反过来向隐变量反馈信息。具体模型表示如下：

通过观察可以发现，结点之间的生成过程与识别过程是相对应的，识别过程中的参数使用 $r$ 进行表示。

醒眠算法本身也是一个迭代算法。每次迭代过程中包含两个步骤：

• $\text{Weak Phase}$：由于$v^{(i)}=(v_1^{(i)},v_2^{(i)},\cdots ,v_{\mathcal{P}}^{(i)})$都是基于样本集合给定的样本，因此执行如下操作：

  • $\text{Bottom-up Activate Neuron}$目标是获取各层隐变量的后验样本：以随机变量$v_1^{(i)},\cdots ,v_{\mathcal{P}}^{(i)}$为起点，对与其相关联的隐变量结点逐层进行激活：
    以上图描述的结点为例。再次提醒$v_1^{(i)}$中的上标表示样本编号$(i=1,2,\cdots ,N)$,下面公式中的上标是层的编号：
    S = { v ( 1 ) , h ( 1 ) , h ( 2 ) } = { v i ( 1 ) , v i + 1 ( 1 ) , h i ( 1 ) , h i + 1 ( 1 ) , h i + 2 ( 1 ) , ⋯   } h ( 1 ) : { h i ( 1 ) ⇒ P ( h i ( 1 ) ∣ v i ( 1 ) ) h i + 1 ( 1 ) ⇒ P ( h i + 1 ( 1 ) ∣ v i ( 1 ) , v i + 1 ( 1 ) ) h i + 2 ( 1 ) ⇒ P ( h i + 2 ( 1 ) ∣ v i + 1 ( 1 ) ) h ( 2 ) : { h j ( 2 ) ⇒ P ( h j ( 2 ) ∣ h i ( 1 ) , h i + 1 ( 1 ) ) h j + 1 ( 2 ) ⇒ P ( h j + 1 ( 2 ) ∣ h i ( 1 ) , h i + 1 ( 1 ) ) \begin{aligned} \mathcal S = \{v^{(1)},h^{(1)},h^{(2)}\} & = \{v_i^{(1)},v_{i+1}^{(1)},h_{i}^{(1)},h_{i+1}^{(1)},h_{i+2}^{(1)},\cdots\} \\ h^{(1)} & :\begin{cases} h_i^{(1)} \Rightarrow \mathcal P(h_i^{(1)} \mid v_i^{(1)}) \\ h_{i+1}^{(1)} \Rightarrow \mathcal P(h_{i+1}^{(1)} \mid v_i^{(1)},v_{i+1}^{(1)}) \\ h_{i+2}^{(1)} \Rightarrow \mathcal P(h_{i+2}^{(1)} \mid v_{i+1}^{(1)}) \end{cases} \\ h^{(2)} &: \begin{cases} h_j^{(2)} \Rightarrow \mathcal P(h_j^{(2)} \mid h_{i}^{(1)},h_{i+1}^{(1)}) \\ h_{j+1}^{(2)} \Rightarrow \mathcal P(h_{j+1}^{(2)} \mid h_{i}^{(1)},h_{i+1}^{(1)}) \end{cases} \end{aligned} S={v(1),h(1),h(2)}h(1)h(2)​={vi(1)​,vi+1(1)​,hi(1)​,hi+1(1)​,hi+2(1)​,⋯}:⎩ ⎨ ⎧​hi(1)​⇒P(hi(1)​∣vi(1)​)hi+1(1)​⇒P(hi+1(1)​∣vi(1)​,vi+1(1)​)hi+2(1)​⇒P(hi+2(1)​∣vi+1(1)​)​:{hj(2)​⇒P(hj(2)​∣hi(1)​,hi+1(1)​)hj+1(2)​⇒P(hj+1(2)​∣hi(1)​,hi+1(1)​)​​
    关于隐变量的后验具体如何求解呢？通过采样的方式。以$h_{i+1}^{(1)}$的后验概率示例。由于$h_{i+1}^{(1)}$同样服从伯努利分布，它的后验概率分布表示如下：
    $$\mathcal{P}(h_{i+1}^{(1)}\mid v_i^{(1)},v_{i+1}^{(1)})=\{\begin{array}{l}\mathcal{P}(h_{i+1}^{(1)}=1\mid v_i^{(1)},v_{i+1}^{(1)})\\ \mathcal{P}(h_{i+1}^{(1)}=0\mid v_i^{(1)},v_{i+1}^{(1)})\end{array}$$
    由于是迭代算法，因此，在初始状态下，给对应识别过程的模型参数$r_{v_i^{(1)}\to h_{i+1}^{(1)}},r_{v_{i+1}^{(1)}\to h_{i+1}^{(1)}}$随机初始值，对应$\mathcal{P}(h_{i+1}^{(1)}\mid v_i^{(1)},v_{i+1}^{(1)})$表示如下：
    识别过程同样使用$\text{Sigmoid}$函数~
得到的结果就是一个关于$h_{i+1}^{(1)}$后验的伯努利分布。
    $$\mathcal{P}(h_{i+1}^{(1)}\mid v_i^{(1)},v_{i+1}^{(1)})=\{\begin{array}{l}\sigma \left(v_i^{(1)}\cdot r_{v_i^{(1)}\to h_{i+1}^{(1)}}+v_{i+1}^{(1)}\cdot r_{v_{i+1}^{(1)}\to h_{i+1}^{(1)}}\right)h_{i+1}^{(1)}=1\\ 1-\sigma \left(v_i^{(1)}\cdot r_{v_i^{(1)}\to h_{i+1}^{(1)}}+v_{i+1}^{(1)}\cdot r_{v_{i+1}^{(1)}\to h_{i+1}^{(1)}}\right)h_{i+1}^{(1)}=0\end{array}$$
    基于该分布进行采样，最终可以得到关于$h_{i+1}^{(1)}$后验的具体样本。并以该样本为基础，继续向下延伸，最终直到得出所有隐变量后验的具体样本。
  • 基于$\text{Bottom-up Activate Neuron}$中产生的样本，去学习生成过程的模型参数$\mathcal{W}(\text{Learning Generative Connection})$：
    此时各个隐变量后验概率分布的样本都已经得到，自然可以求解模型参数$\mathcal{W}$的梯度。虽然$\text{Bottom-up}$过程中各层之间的结构中有‘同父结构’和$\mathcal{V}$型结构，但并不影响$\mathcal{P}(h^{(k)}\mid v^{(k)})$的近似计算。
    依然以上图为例：
    将‘同父结构’的部分进行展开。同父结构考古概率图模型——贝叶斯网络的结构表示
    这里仅介绍了一项$\mathcal{P}(h_{i+1}^{(1)}\mid v_i^{(1)},v_{i+1}^{(1)})$,其余项大家自行脑补~
    $$\begin{array}{rl}\mathcal{P}(h^{(k)}\mid v^{(k)})& =\mathcal{P}(h_i^{(1)},h_{i+1}^{(1)},h_{i+2}^{(1)},h_j^{(2)},h_{j+1}^{(2)}\mid v_i^{(1)},v_{i+1}^{(1)})\\ & =\underset{Layer-1}{\underbrace{\mathcal{P}(h_i^{(1)},h_{i+1}^{(1)}\mid v_i^{(1)})\cdot \mathcal{P}(h_{i+1}^{(1)}\mid v_i^{(1)},v_{i+1}^{(1)})\cdot \mathcal{P}(h_{i+1}^{(1)},h_{i+2}^{(1)}\mid v_{i+1}^{(1)})}}\cdot \underset{Layer-2}{\underbrace{\mathcal{P}(h_j^{(2)},h_{j+1}^{(2)}\mid h_i^{(1)})\cdot \mathcal{P}(h_j^{(2)},h_{j+1}^{(2)}\mid h_{i+1}^{(1)})}}\\ & =\{\begin{array}{l}\text{Layer-1: }\left[\mathcal{P}(h_i^{(1)}\mid v_i^{(1)})\cdot \mathcal{P}(h_{i+1}^{(1)}\mid v_i^{(1)},v_{i+1}^{(1)})\cdot \mathcal{P}(h_{i+2}^{(1)}\mid v_{i+1}^{(1)})\right]\\ \text{Layer-2: }\left[\mathcal{P}(h_j^{(2)}\mid h_i^{(1)},h_{i+1}^{(1)})\cdot \mathcal{P}(h_{j+1}^{(2)}\mid h_i^{(1)},h_{i+1}^{(1)})\right]\end{array}\end{array}$$
    此时，$\mathcal{P}(h^{(k)}\mid v^{(k)})$求解结束后，继续求解模型参数$\mathcal{W}$的梯度：
    $$\begin{array}{rl}{\nabla }_{{\mathcal{W}}_{j\to i}}\left[\sum _{v^{(k)}\in \mathcal{V}}\log \mathcal{P}(v^{(k)})\right]& =\sum _{v^{(k)}\in \mathcal{V}}\sum _{h^{(k)}}\mathcal{P}(h^{(k)}\mid v^{(k)})\cdot \sigma \left[-(2h_i^{(k)}-1)\cdot \sum _{j\to i}{\mathcal{W}}_{j\to i}^{(k)}\cdot h_j^{(k)}\right]\cdot (2h_i^{(k)}-1)\cdot h_j^{(k)}\end{array}$$
    最终使用梯度上升法，近似求解当前迭代步骤的最优模型参数$\hat{\mathcal{W}}$：
    $${\mathcal{W}}_{j\to i}^{(t+1)}={\mathcal{W}}_{j\to i}^{(t)}+\eta {\nabla }_{w_{j\to i}^{(t)}}\left[\sum _{v^{(k)}\in \mathcal{V}}\log \mathcal{P}(v^{(k)})\right]$$

• $\text{Sleep Phase: }$在$\text{Weak Phase}$基础上，我们得到了关于隐变量后验分布的样本，执行如下操作：

  • $\text{Top-Down Activate Neuron: }$从入度为零的隐变量结点开始，按照拓扑排序的顺序进行采样：
    其采样操作和$\text{Bottom-up Activate Neuron}$步骤基本相同，正常按照‘祖先采样方法’进行采样。这里同样使用$h_{i+1}^{(1)}$为例，进行采样.
需要注意的是，此时的采样起点是从隐变量开始的，从而采出的基于所有随机变量结点的样本点不同于$\text{Weak Phase}$,这些样本点没有真实样本做支撑，是虚拟出来的样本点。
虽然$h_j^{(2)},h_{j+1}^{(2)},h_{i+1}^{(1)}$之间属于$\mathcal{V}$型结构，但是$h_{i+1}^{(1)}$作为后验，是未知(未被观测)的，因此可以写成如下形式。
    $$\mathcal{Q}(h_{i+1}^{(1)}\mid h_j^{(2)},h_{j+1}^{(2)})=\mathcal{Q}(h_{i+1}^{(1)}\mid h_j^{(2)})\cdot \mathcal{Q}(h_{i+1}^{(1)}\mid h_{j+1}^{(2)})$$
    对应的概率分布可表示为：
    $$\begin{array}{r}\mathcal{Q}(h_{i+1}^{(1)}\mid h_j^{(2)})=\{\begin{array}{l}\sigma \left({\mathcal{W}}_{h_j^{(2)}\to h_{i+1}^{(1)}}\cdot h_j^{(2)}\right)h_{i+1}^{(1)}=1\\ 1-\sigma \left({\mathcal{W}}_{h_j^{(2)}\to h_{i+1}^{(1)}}\cdot h_j^{(2)}\right)h_{i+1}^{(1)}=0\end{array}\\ \mathcal{Q}(h_{i+1}^{(1)}\mid h_{j+1}^{(2)})=\{\begin{array}{l}\sigma \left({\mathcal{W}}_{h_{j+1}^{(2)}\to h_{i+1}^{(1)}}\cdot h_{j+1}^{(2)}\right)h_{i+1}^{(1)}=1\\ 1-\sigma \left({\mathcal{W}}_{h_{j+1}^{(2)}\to h_{i+1}^{(1)}}\cdot h_{j+1}^{(2)}\right)h_{i+1}^{(1)}=0\end{array}\end{array}$$
    最终，同样可以得到关于隐变量的虚拟的概率分布$\mathcal{Q}(h^{(k)}\mid v^{(k)})$的样本。
    个人疑问：$\mathcal{Q}(h^{(k)}\mid v^{(k)})$既然是关于隐变量$h^{(k)}$后验的一个概率分布，那么在$\text{Sleep Phase}$过程中是否采到结尾，也就是如$\mathcal{Q}(v_i^{(1)}\mid h_i^{(i)})$.虽然已经这道这里关于$v_i^{(1)}$的后验并不是基于真实样本产生的，是虚拟的，但它仍然是关于$v_i^{(1)}$的后验。这就不是隐变量的后验了，那么$\mathcal{Q}(h^{(k)}\mid v^{(k)})$要如何表示？
其次，如果不采到结尾，那么如上图中的$h_{i+2}^{(1)}$就没有机会采到了。因为它是入度为零的结点，并且它的后验就是观测变量。
  • 基于求解的$\mathcal{Q}(h^{(k)}\mid v^{(k)})$求解参数$r$，首先，依然求解参数$r$的梯度。
    直接将$\mathcal{Q}(h^{(k)}\mid v^{(k)})$带回原式，替换$\mathcal{P}(h^{(k)}\mid v^{(k)})$.并且此时的${\mathcal{V}}^{\prime }$也不再是真实样本，而是经过后验采样出的样本结果。
    $${\nabla }_{r_{j\to i}}\left[\sum _{v^{(k)}\in {\mathcal{V}}^{\prime }}\log \mathcal{P}(v^{(k)})\right]$$
    最终近似求解模型参数$r$：
    $$r_{j\to i}^{(t+1)}=r_{j\to i}^{(t)}+\eta {\nabla }_{r_{j\to i}^{(t)}}\left[\sum _{v^{(k)}\in {\mathcal{V}}^{\prime }}\log \mathcal{P}(v^{(k)})\right]$$

下一节将介绍醒眠算法与$\text{EM}$算法之间的比较。

相关参考：
(系列二十六)Sigmoid Belief Network4-睡眠算法-介绍